Cung lượng giác là gì? Các dạng bài tập cung lượng giác

Ở hình học lớp 9, chúng ta đã được tìm hiểu về cung tròn. Lên lớp 10, chúng ta sẽ được tìm hiểu về cung lượng giác. Vậy cung tròn khác với cung lượng giác như thế nào? Cách tính số đo cung lượng giác ra sao? Có những đơn vị nào dùng để đo một cung lượng giác? Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn trả lời những câu hỏi này. Cùng tìm hiểu nhé.

1. Cung lượng giác là gì?

Trước tiên, để đi đến khái niệm cung lượng giác thì ta sẽ tìm hiểu về khái niệm đường tròn định hướng.

1.1. Đường tròn định hướng

Đường tròn định hướng là đường tròn mà ở trên đó ta quy định chiều chuyển động của đường tròn là chiều âm hoặc chiều dương

Người ta quy ước như sau:

+ Chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ

+ Chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ

Tham khảo hình vẽ dưới đây:

Từ điểm A, theo chiều quy ước ta có:

+ Chiều từ A đến C, ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương

+ Chiếu từ A đến D, cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm

1.2. Cung lượng giác

Trên đường tròn định hướng, ta lấy hai điểm M và N. Khi đó hai điểm này tạo thành một cung lượng giác. Khi đó, ta có

+ Cung lượng giác MN với điểm đầu là M, điểm cuối là N

+ Hoặc cung lượng giác NM với điểm đầu là N, điểm cuối là M.

* Chú ý: Cung lượng là kí hiệu là:

 Tham khảo hình vẽ:

Hình vẽ trên là cung lượng giác theo chiều dương, điểm đầu là M, điểm cuối là N

*Chú ý: Trên đường tròn định hướng, từ hai điểm cho trước, ta có thể vẽ ra vô số cung trùng điểm đầu và điểm cuối, các cung này hơn kém nhau một hoặc nhiều lần số đo một đường tròn.

Xem thêm: Góc lượng giác là gì? Cách tính góc lượng giác & bài tập liên quan

2. Đơn vị đo cung lượng giác và cách tính số đo cung lượng giác

♦ Đơn vị radian

Cung có độ dài đúng bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 radian

1 radian ký hiệu là 1 rad

♦ Quy ước đổi từ rad sang độ

♦ Độ dài cung lượng giác

Độ dài cung ký hiệu là

Cho đường tròn bán kính R, (rad), là số đo của cung tròn

Khi đó, độ dài cung là:  

♦ Số đo của một cung lượng giác

Số đo của một cung lượng giác kí hiệu là sđ

Ví dụ: Cho cung lượng giác MN

Khi đó, kí hiệu số đo cung lượng giác MN là: sđ

sđ

Trong đó, rad hoặc  là số đo của cung tròn MN

* Số đo của cung có thể âm, có thể dương, có thể bằng 0 và luôn là một số thực nào đó.

* Lưu ý: Khi viết số đo của cung lượng giác theo đơn vị rad, thông thường người ta không viết rad

3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Để biểu diễn một cung lượng giác trên đường tròn lượng giác khi biết số đo của cung lượng giác là x, ta chỉ cần xác định điểm đầu và điểm cuối trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của cung đó bằng đúng x

Thông thường, người ta sẽ lấy điểm M(1; 0) để làm điểm đầu, sau đó xác định một điểm N trên đường tròn để sđ  = x

4. Các dạng bài tập cung lượng giác lớp 10

4.1. Dạng 1: Bài tập về độ dài của cung lượng giác

*Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính độ dài của cung lượng giác để giải quyết bài toán. Đề bài có thể yêu cầu tính một trong các đại lượng của công thức đó: độ dài, bán kính, số đo cung.

Bài tập luyện tập

Bài 1: Tính độ dài của một cung lượng giác biết R = 20cm, cung tròn có số đo  

Bài 2: Tính độ dài của một cung lượng giác biết bán kính bằng 12cm, cung tròn có số đo

Bài 3: Biết độ dài cung tròn là 50cm, cung tròn có số đo là . Tính bán kính đường tròn đó.

Bài 4: Một bánh xe máy có bán kính là 23cm, biết độ dài của một cung trên bánh xe là 20cm. Tính số đo của cung đó.

4.2. Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn

*Phương pháp giải:

Dựa vào cách biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn để biểu diễn cung mà đề bài yêu cầu trên đường tròn

- Chú ý: Các cung có số đo hoặc sẽ có cùng điểm đầu và điểm cuối trên đường tròn lượng giác

Ví dụ:

Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng

Hướng dẫn giải

Ta lấy điểm đầu là điểm M (1; 0), vì cung lượng giác có số đo là > 0 nên cung lượng giác xác định theo chiều dương

Ta thấy:

Do đó, ta xác định được điểm cuối là điểm C nằm giữa  điểm N và M’

Bài tập luyện tập

Bài tập 1: Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng

Bài tập 2: Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng

Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ và sâu hơn về cung lượng giác, cách tính số đo cung lượng giác và xác định cung lượng giác trên đường tròn. Cảm ơn các bạn đã đọc bài viết.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang