Định lý Vi-et là gì? Ứng dụng giải bài tập cơ bản đến nâng cao

Định lý Vi-et đóng vai trò quan trọng trong chương trình học phổ thông. Nó có mặt ở chương trình lớp 10, 11 và 12. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định lý Viet bậc 2, định lý Viet bậc 3 và ứng dụng của nó để giải một số bài tập thường gặp trong chương trình cấp 3 nhé!

1. Định lý Vi-et là gì?

- Hai số  và  là các nghiệm của phương trình bậc hai  khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức

- Ba số  và  là các nghiệm của phương trình bậc ba  khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức

2. Ứng dụng của định lý Vi-et trong giải toán

• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

• Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức  có hai nghiệm  và  thì nó có thể phân tích thành nhân tử .

• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là và tích là thì chúng là nghiệm của phương trình .

• Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai (1),  kí hiệu . Khi đó:

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi .

+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi .

+ Phương trình (1) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi .

3. Ví dụ minh họa vận dụng định lý Vi-et

3.1. Ứng dụng định lý Viet trong các bài toán ở lớp 10

Ví dụ 1. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm:

Lời giải:

a) Ta có

Vì  nên hai nghiệm  cùng dấu và  nên hai nghiệm cùng dấu dương.

b) Ta có

 Vì  nên hai nghiệm  cùng dấu và  nên hai nghiệm cùng dấu âm.

c) Ta có nên hai nghiệm  trái dấu.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)                                              

b)

c)

d)

Lời giải:

a) Phương trình hoặc .

Suy ra .

b) Phương trình hoặc .

Suy ra .

c) Ta coi phương trình là phương trình bậc hai ẩn .

Ta có .

Suy ra phương trình có nghiệm là  hoặc .

Do đó .

d) Ta có .

Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn  và có .

Suy ra phương trình có nghiệm là  hoặc .

Do đó .

Ví dụ 3.

a) Cho phương trình . Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức .

b) Cho phương trình . Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức .

Lời giải:

a) Theo hệ thức Vi-et, ta có và .

Do đó

b) Ta có .

Theo định lý Vi-et, ta có:

•

• . Suy ra  nên .

Do đó

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của  để phương trình

a)  có hai nghiệm  thỏa mãn .

b)  có hai nghiệm  thỏa mãn .

c)  có hai nghiệm  thỏa mãn .

d)  có hai nghiệm phân biệt  thỏa mãn .

Lời giải:

a)

• Nếu  thì phương trình đã cho trở thành : không thỏa mãn.

• Nếu . Ta có .

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là . (*)   

Với điều kiện (*) giả sử  là hai nghiệm của phương trình.  Từ yêu cầu bài toán và áp dụng định lý Vi-et ta có

Thay  vào phương trình, ta được  hoặc .

Đối chiếu điều kiện ta được  hoặc  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b)

Ta có .

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là .

Theo định lý Vi-et, ta có . Thay vào hệ thức , ta được  hoặc .

Đối chiếu điều kiện ta được  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c)

Ta có .

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là .

Ta có

Theo định lý Vi-et, ta có . Thay vào hệ thức , ta được

Đối chiếu điều kiện ta được  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d)

Ta có .

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là  hoặc .

Ta có

Theo định lý Vi-et, ta có  và

Thay vào hệ thức , ta được

Đối chiếu điều kiện ta được  hoặc  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3.2. Ứng dụng của định lý Viet trong các bài toán lớp 11 và 12

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số  để phương trình

a)   có ba nghiệm lập thành cấp số cộng.

b) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Lời giải:

a) Phương trình đã cho có ba nghiệm khi

So sánh hai vế ta có .

Nếu ba nghiệm  lập thành cấp số cộng thì

Thay nghiệm  vào phương trình, ta được

Với , phương trình trở thành

Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình  có hai nghiệm .

Vậy  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta có

  (1)                                   .                                                    

Đặt . Phương trình trở thành

  (2)                                                 

Phương trình (1) có bốn nghiệm khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Khi đó bốn nghiệm của phương trình (1) theo thứ tự là .

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng .

Theo định lý Vi-et, ta có

Từ  và  suy ra . Thay vào , ta được

 hoặc .

• Với , suy ra . Suy ra cấp số cộng .
• Với , suy ra . Suy ra cấp số cộng .

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số

1.  có cực đại, cực tiểu có hoành độ là các số dương .
2.  đạt cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.

Lời giải:

1. Hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ là các số dương khi và chỉ khi phương trình: có 2 nghiệm dương phân biệt, nghĩa là ta luôn có:

Vậy,  là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

Ta có : .

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi có hai nghiệm phân biệt  và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó  

Khi đó :

Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x₁,x₂ là nghiệm của phương trình .