Table of Contents
Trong các chuyên đề trước, chúng ta đã được tìm hiểu về phương trình một ẩn và phương trình nhiều ẩn. Bài viết này, chúng ta sẽ đi xét một số phương trình một ẩn hoặc nhiều ẩn, trong đó ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có những chữ khác, các chữ này được xem là những số đã biết, ta gọi là tham số và phương trình này ta gọi là phương trình chứa tham số. Cùng tìm hiểu khái niệm và cách giải phương trình chứa tham số qua bài viết sau nhé.
1. Phương trình chứa tham số là gì?
Chúng ta xét một số phương trình một ẩn hoặc nhiều ẩn, trong đó ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có những chữ khác, các chữ này được xem là những số đã biết và ta gọi là tham số.
Ví dụ 1: Các phương trình (2m – 1)x + 3 = 0; 5x2 + x – 4m = 0 (với ẩn x) được coi là các phương trình chứa tham số m.
Ví dụ 2: Hãy tìm nghiệm của phương trình chứa tham số m sau: mx – 1 = 2m + 3 (*) trong các trường hợp dưới đây
1) m = 0;
2) m ≠ 0.
Lời giải
1) Với m = 0 phương trình (*) trở thành: 0x = 4 hay 0 = 4 (vô lý).
Vậy với m = 0 phương trình (*) vô nghiệm.
2) Với m ≠ 0 phương trình (*) trở thành:
Vậy với m ≠ 0 thì nghiệm của phương trình (*) là
Nhận xét: Ta thấy rằng nghiệm và tập nghiệm của một phương trình chứa tham số nào đó phụ thuộc vào tham số đó. Để giải được một phương trình chứa tham số, ta sẽ chỉ ra tập nghiệm của phương trình đó tùy theo các giá trị có thể của tham số.
2. Giải phương trình chứa tham số m
Khi ta giải một phương trình chứa tham số, thì ta thường nói là giải và biện luận phương trình. Bài toán giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì phương trình đã cho vô nghiệm hoặc có nghiệm và ta đi tìm các nghiệm đó.
2.1. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
ax + b = 0 (1) | ||
Hệ số | Kết luận | |
a ≠ 0 | Phương trình (1) có nghiệm duy nhất | |
a = 0 | b ≠ 0 | Phương trình (1) vô nghiệm. |
| b = 0 | Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x. |
Chú ý: Trong trường hợp a ≠ 0 phương trình (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2.2. Giải và biện luận phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (2) | |
Kết luận | |
| Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt |
| Phương trình (2) có nghiệm kép |
| Phương trình (2) vô nghiệm. |
3. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số m có dạng ax + b < 0
Hệ số | Kết luận | |
a > 0 | Bất phương trình có tập nghiệm S = | |
a < 0 | Bất phương trình có tập nghiệm S = | |
a = 0 | b ≥ 0 | Bất phương trình có tập nghiệm S = |
b < 0 | Bất phương trình có tập nghiệm S = R | |
4. Giải và biện luận hệ phương trình chứa tham số m
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta tính các định thức sau:
+
+
+
Định thức | Kết luận | |
D ≠ 0 | Hệ phương trình có nghiệm duy nhất | |
D = 0 | Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 | Hệ phương trình vô nghiệm |
Dx = Dy = 0 | Hệ phương trình có vô số nghiệm | |
5. Một số dạng bài tập giải phương trình chứa tham số m
Bài 1. Hãy giải và biện luận phương trình dưới đây theo tham số m:
m2(x – 1) – (2m + 3)x + m + 2 = 0.
ĐÁP ÁN
Ta có m2(x – 1) – (2m + 3)x + m + 2 = 0
TH1: (m + 1)(m – 3) = 0 hay m = – 1 hoặc m = 3.
Với m = – 1 thì phương trình (1) trở thành: 0x = 0, khi đó mọi x thuộc tập số thực đều là nghiệm của phương trình đã cho.
Với m = 3 thì phương trình (1) trở thành: 0x = 4, khi đó phương trình đã cho vô nghiệm.
TH2: (m + 1)(m – 3) ≠ 0 hay m ≠ – 1 và m ≠ 3.
Với m ≠ – 1 và m ≠ 3 thì phương trình (1) trở thành:
Bài 2. Hãy giải và biện luận phương trình dưới đây theo tham số m:
m(m – 6)x + 8m = m2 + 7x + 7.
ĐÁP ÁN
Ta có m(m – 6)x + 8m = m2 + 7x + 7
TH1: (m + 1)(m – 7) = 0 hay m = – 1 hoặc m = 7.
Với m = – 1 thì phương trình (2) trở thành: 0x = 16, khi đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Với m = 7 thì phương trình (2) trở thành: 0x = 0, khi đó mọi x thuộc tập số thực đều là nghiệm của phương trình đã cho.
TH2: (m + 1)(m – 7) ≠ 0 hay m ≠ – 1 và m ≠ 7.
Với m ≠ – 1 và m ≠ 7 thì phương trình (2) trở thành:
Bài 3. Hãy giải và biện luận phương trình dưới đây theo tham số m:
m2 (x + 1) – (7m – 10)x = 4m + 5.
ĐÁP ÁN
Ta có m2 (x + 1) – (7m – 10)x = 4m + 5
TH1: (m – 2)(m – 5) = 0 hay m = 2 hoặc m = 5.
Với m = 2 thì phương trình (3) trở thành: 0x = 9, khi đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Với m = 5 thì phương trình (3) trở thành: 0x = 0, khi đó mọi x thuộc tập số thực đều là nghiệm của phương trình đã cho.
TH2: (m – 2)(m – 5) ≠ 0 hay m ≠ 2 và m ≠ 5.
Với m ≠ 2 và m ≠ 5 thì phương trình (3) trở thành:
Bài 4. Hãy giải và biện luận phương trình dưới đây theo tham số m:
mx2 + (m + 5)x – 2m – 5= 0.
ĐÁP ÁN
TH1: Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 5x + 5 = 0
TH2: Nếu m ≠ 0 thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có
= 9m2 + 30m + 25
= (3m + 5)2 ≥ 0.
Với
Với
Vậy:
+ Với m = 0 phương trình đã cho có một nghiệm x = – 1.
+ Với
+ Với m ≠ 0 và
Bài 5. Hãy giải và biện luận phương trình dưới đây theo tham số m:
(3m – 4)x2 + (m – 4)x – 2m = 0.
ĐÁP ÁN
TH1: Nếu 3m – 4 = 0 hay
TH2: Nếu 3m – 4 ≠ 0 hay
= 25m2 – 40m + 16
= (5m – 4)2 ≥ 0.
Với
Với
Vậy:
+ Với
+ Với
+ Với
Tổng kết, chúng ta đã được tìm hiểu khái niệm phương trình chứa tham số và cách giải phương trình chứa tham số qua bài viết trên. Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn học tập hiệu quả hơn.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang