Cách giải phương trình chứa dấu căn chi tiết, đầy đủ

1. Nhắc lại một số khái niệm

Biểu thức đại số là biểu thức trong đó ngoài các số, các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) còn có sự xuất hiện của các chữ.

Ví dụ: 2x + 5 là một biểu thức đại số.

Với A là một biểu thức đại số thì được gọi là căn thức bậc hai của A.

Ví dụ: là một căn thức bậc hai.

có nghĩa (hay xác định) A .

Ví dụ: có nghĩa x .

2. Cách giải phương trình chứa dấu căn

2.1. Giải phương trình chứa dấu căn bằng cách bình phương hai vế

Đối với phương trình có dạng   với A, B là các biểu thức đại số. Ta cần đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa. Sau đó bình phương hai vế để đưa về dạng A = B.

Ví dụ: Giải phương trình        

Giải

Điều kiện:

Khi đó, (1) 4x - 2 = x + 7

  3x = 9

  x = 3 (thỏa mãn)

Vậy, .

Đối với phương trình có dạng với A, B là các biểu thức đại số. Ta cần đặt điều kiện để có nghĩa và B là một số không âm. Sau đó, bình phương hai vế để đưa về dạng A = B².

Ví dụ: Giải phương trình        

Giải

Điều kiện:

Khi đó, (2) 2x - 1 = (x - 2)²

 2x - 1 = x² - 4x + 4

  x² - 6x + 5 = 0

Đây là phương trình bậc hai có a = 1, b = -6, c = 5 mà a + b + c = 0

Nên phương trình có hai nghiệm x₁ = 1 (loại) và x₂ = = 5 (thỏa mãn)

Vậy, .

Tuy nhiên, có một số bài khi bình phương hai vế ta vẫn chưa bỏ hết được dấu căn. Ta tiếp tục biến đổi và bình phương hai vế lần thứ hai. Cụ thể, đối với phương trình có dạng (hoặc ) ta lần lượt đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa. Sau đó, bình phương hai vế để giải.

Ví dụ: Giải phương trình          

Giải

Điều kiện:

Khi đó,

Đối chiếu với điều kiện ban đầu. Vậy, .

2.2. Giải phương trình chứa dấu căn bằng cách đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với phương trình có dạng . Ta đưa phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối để tiếp tục giải.

Ví dụ: Giải phương trình            

Giải

Ta có:

Trường hợp 1: ,ta có phương trình:

x - 3 = -2x + 1

 3x = 4

 x = (loại)

Trường hợp 2: x - 3 < 0 x < 3 ta có phương trình:

-x + 3 = -2x + 1

 2x - x = -3 + 1

 x = -2 (thỏa mãn)

Vậy, .

2.3. Giải phương trình chứa dấu căn bằng một số phương pháp khác

Giải phương trình chứa dấu căn bằng cách đưa về phương trình tích

Ví dụ: Giải phương trình          

Giải

Điều kiện:

(do nên )

(thỏa mãn)

Vậy, .

• Giải phương trình chứa dấu căn bằng cách đánh giá hai vế

Ví dụ: Giải phương trình            

Giải

Điều kiện:

Với   ,ta có:    mà  

Do đó, phương trình vô nghiệm.

Vậy,

• Giải phương trình chứa dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình          

Giải

Điều kiện: 1 - x 0

 x 1

Đặt t = (với t 0).

Ta có: t² = 1 - x

 x = 1 - t²

Khi đó, phương trình (7) trở thành:

2(1 - t²) + t = 1

 2 - 2t² + t = 1

 2t² - t - 1 = 0    (*)

Phương trình   có a = 2, b = -1, c = -1 mà a + b + c = 0 nên có hai nghiệm t₁ = 1 (thỏa mãn) và t₂ = (loại).

Với t₁ = 1  = 1 1 - x = 1 x = 0 (thỏa mãn).

Vậy,

3. Bài tập giải phương trình chứa dấu căn lớp 10

3.1. Bài tập tự luận

Hãy giải phương trình 5  - x = 0    (**) bằng hai cách khác nhau.

Giải

• Cách 1:

Điều kiện: x 0

(**) 5  = x

 25x = x²

 x² - 25x = 0

 x(x - 25) = 0

Đối chiếu với điều kiện. Vậy S =

• Cách 2:

Điều kiện: x 0

(**)  (5 - ) = 0

Đối chiếu với điều kiện. Vậy, S =

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Phương trình = x - 1 có tập nghiệm là

1. S =
2. S =
3. S =
4. S =

Bài 2: Cho các phương trình + = 0  (1);   . = 0   (2);  3  =  x    (3). 

Trong các phương trình trên, phương trình có duy nhất một nghiệm là

1. Phương trình (1)
2. Phương trình (2)
3. Phương trình (3)
4. Cả ba phương trình trên

Bài 3: Phương trình 5x - 3 - 2 = 0 có tập nghiệm là

1. S =
2. S =
3. S =
4. S =

Bài 4: Cho các phương trình = 1 - x    (1);   +  =     (2);   + 2 =          (3).

Trong các phương trình trên, phương trình có hai nghiệm là

1. Phương trình (1)
2. Phương trình (2)
3. Phương trình (3)
4. Cả ba phương trình trên

Bài 5: Phương trình = 3 có tập nghiệm là

1. S =
2. S =
3. S =
4. S =

Bài 6: Cho phương trình . Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là

1. Phương trình xác định với mọi giá trị x
2. Phương trình xác định khi x 2
3. Phương trình xác định khi
4. Phương trình xác định khi

Bài 7: Cho các phương trình = 2      (1); = 1      (2); = 2       (3).

Trong các phương trình nêu trên, phương trình vô nghiệm là

1. Phương trình (1) và phương trình (2)
2. Phương trình (1) và phương trình (3)
3. Phương trình (2) và phương trình (3)
4. Cả ba phương trình trên

Bài 8: Cho phương trình (x + 3)(2 - 1) = x² - 9. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là

1. Phương trình xác định khi x 0
2. Phương trình có nghiệm x = 4 + 2
3. Phương trình có nghiệm x = 1 +
4. -3 không phải là một nghiệm của phương trình

Trên đây là một số dạng bài về phương trình chứa dấu căn và cách giải. Mong rằng các em có thể vận dụng, phối hợp các phương pháp để có thể làm nhiều bài tập liên quan hơn nữa và đạt thành tích cao trong các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang