Cách giải và biện luận phương trình bậc 2: Hướng dẫn chi tiết

Bạn đang tìm hiểu về cách giải và biện luận phương trình bậc 2 một cách chi tiết? Trong chủ đề này, chúng ta sẽ khám phá những phương pháp giải toán và phân tích chi tiết để tìm ra nghiệm của phương trình bậc 2. Bài viết hướng dẫn này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức cơ bản và bước đầu vào thế giới thú vị của toán học. Mời bạn khám phá và nắm vững cách giải và biện luận phương trình bậc 2 thông qua các ví dụ và lời giải chi tiết.

1. Nhắc lại về phương trình bậc 2

1.1. Khái niệm phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng như sau:

, trong đó

a, b, c là các hệ số.

Để làm tốt bài toán biện luận phương trình bậc hai, chúng ta phải thành thạo trong việc phân biệt các hệ số a, b, c của phương trình. Cùng xem một số ví dụ về phương trình bậc 2 cũng như cách phân biệt các hệ số dưới đây.

Ví dụ 1:

Phương trình trên là phương trình bậc 2, với các hệ số:

a=1

b=2

c=1

Ví dụ 2:

Phương trình trên là phương trình bậc 2, với các hệ số:

a=2

b=-1

c=2

Ví dụ 3:

Phương trình trên là phương trình bậc 2, với các hệ số:

a=-1

b=3

c=-1

Ví dụ 4:

Phương trình trên là phương trình bậc 2, với các hệ số:

a=-3

b=2

c=1

1.2. Công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Biệt thức Delta:

- Phương trình vô nghiệm:

- Phương trình có nghiệm kép:

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1.3. Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc 2

và là nghiệm của phương trình bậc hai: khi

2. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

2.1. Biện luận phương trình bậc 2 cơ bản

• Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c
• Bước 2: Tính biệt thức Delta
• Bước 3: Xét các trường hợp nghiệm của phương trình: vô nghiệm, nghiệm kép, hai nghiệm phân biệt.

Một số ví dụ về biện luận phương trình bậc 2.

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m

Bước 1: Xác định hệ số a, b, c:

a = m

b = 2

c = -1

Bước 2: Tính biệt thức Delta: 

Bước 3: Xét từng trường hợp nghiệm của phương trình.

- Phương trình vô nghiệm

- Phương trình có nghiệm kép 

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m

Bước 1: Xác định hệ số a, b, c:

a = m-2

b = 1

c = 1

Bước 2: Tính biệt thức Delta: 

Bước 3: Xét từng trường hợp nghiệm của phương trình.

- Phương trình vô nghiệm

- Phương trình có nghiệm kép 

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m

Bước 1: Xác định hệ số a, b, c:

a = 1

b = -2

c = m-1

Bước 2: Tính biệt thức Delta: 

Bước 3: Xét từng trường hợp nghiệm của phương trình.

- Phương trình vô nghiệm

- Phương trình có nghiệm kép 

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2.2. Biện luận phương trình bậc 2 với điều kiện ở nghiệm

Điều kiện nghiệm ở dạng này có thể là: 2 nghiệm dương, 2 nghiệm âm, 2 nghiệm trái dấu, tổng 2 nghiệm bằng một số nào đó,...Trong trường hợp này, thường ta sẽ dùng định lý Viet để giải bài toán

- Khi P<0, ta được hai nghiệm trái dấu.

- Khi P>0, ta được hai nghiệm cùng dấu.

- Khi P>0 và S>0, ta được hai nghiệm dương.

- Khi P>0 và S<0, ta được hai nghiệm âm.

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm âm

Tổng và tích của hai nghiệm:

Phương trình có hai nghiệm âm khi:

Vậy -2<m<0 thì phương trình có hai nghiệm âm.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm dương

Tổng và tích của hai nghiệm:

Phương trình có hai nghiệm dương khi tổng và tích đồng thời lớn hơn 0:

m > 2 và m < 1 (vô lý). Vậy không tìm được m để phương trình có hai nghiệm dương.

2.3. Biện luận về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Giữa hàm số bậc hai và hàm số bậc nhất

- Hai đồ thị cắt nhau: phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

- Hai đồ thị tiếp xúc: phương trình trên có nghiệm kép

- Hai đồ thị không có điểm chung: phương trình trên vô nghiệm

Giữa hàm số bậc hai và hàm số bậc hai

- Hai đồ thị cắt nhau: phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

- Hai đồ thị tiếp xúc: phương trình trên có nghiệm kép

- Hai đồ thị không có điểm chung: phương trình trên vô nghiệm

Ví dụ 1: Tìm m để hai đồ thị hàm số sau cắt nhau ;

Ta có phương trình:

Hai đồ thị cắt nhau thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy thì hai đồ thị cắt nhau.

Ví dụ 2: Tìm m để hai đồ thị hàm số sau không có điểm chung ;

Ta có phương trình:

Hai đồ thị không có điểm chung khi phương trình vô nghiệm:

Vậy thì hai đồ thị không có điểm chung.

2.4. Tìm điều kiện m để phương trình có 3, 4, 5,... nghiệm

Bài toán: Cho phương trình có dạng:

f(x) có thể là hàm số bậc nhất, bậc hai, bậc ba,...Tìm điều kiện để phương trình có n nghiệm.

Ví dụ 1: Cho phương trình , tìm điều kiện của m để phương trình có duy nhất một nghiệm

Ta có:

Để phương trình đề cho có duy nhất một nghiệm thì phương trình bậc hai phải vô nghiệm.

Phương trình bậc hai vô nghiệm khi:

Vậy thì phương trình có duy nhất một nghiệm.

Ví dụ 2: Cho phương trình , tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm.

Ta có:

Phương trình có ba nghiệm khi phương trình bậc hai có nghiệm kép:

Thay m vào phương trình thử lại xem có bị trùng nghiệm không

Vậy thì phương trình có ba nghiệm.

3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a.

b.

Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hiệu hai nghiệm bằng 2

Bài 3: Tìm m để hai đồ thị hàm số sau tiếp xúc nhau ;

Bài 4: Cho phương trình  tìm điều kiện của m để phương trình 3 nghiệm

Bài 5: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm

Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong về phương trình bậc 2, cũng như nắm được cách giải và biện luận phương trình bậc 2. Hy vọng thông qua những bài tập áp dụng vừa rồi các bạn có thể có đủ kiến thức để học tốt các bài học tiếp theo!

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang