Cách giải phương trình bậc 4: Các bước cần thiết và ví dụ minh họa

Phương trình bậc 4 là một nội dung được đề cập đến trong chương trình môn Toán lớp 10 phần Đại số. Như vậy, phương trình bậc 4 có dạng như thế nào? Làm sao để giải phương trình bậc 4? Để có thể trả lời cho những câu hỏi vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.

1. Phương trình bậc 4 có dạng gì?

Phương trình bậc 4 là phương trình có dạng:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

Trong đó: x được gọi là ẩn; a, b, c, d, e là các số thực đã biết; a 0.

Ví dụ: 2x⁴ - 5x³ + 3x² - x + 1 = 0 là một phương trình bậc 4.

2. Phương trình trùng phương là một dạng đặc biệt của phương trình bậc 4

+ Khi phương trình bậc 4: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 (a 0) có các hệ số b = d = 0 thì phương trình bậc 4 trở thành phương trình trùng phương.

+ Lúc này, ta có thể viết lại dạng của phương trình trùng phương như sau:

ax⁴ + cx² + e = 0

Ví dụ: 3x⁴ - x² - 2 = 0 là một phương trình trùng phương.

3. Cách giải phương trình bậc 4

Cách giải phương trình bậc 4 hết sức đa dạng và phong phú. Sau đây là một số phương pháp giải phương trình bậc 4.

3.1. Giải phương trình bậc 4 bằng cách đưa về phương trình tích

+ Phương pháp:

• Nhóm hạng tử thích hợp
• Đặt nhân tử chung
• Đưa về phương trình tích

Ví dụ: Giải phương trình: x⁴ + 2x³ - 6x² - 6x + 9 = 0      (1)

Giải

Ta có:

x⁴ + 2x³ - 6x² - 6x + 9 = 0

(x⁴ - 6x² + 9) + (2x³ - 6x) = 0

(x² - 3)² + 2x(x² - 3) = 0

(x² - 3)(x² - 3 + 2x) = 0

(x² - 3)(x² + 2x - 3) = 0

+ Với x² - 3 = 0

x² = 3

x =

+ Với x² + 2x - 3 = 0

Đây là phương trình bậc hai có các hệ số: a = 1; b = 2; c = - 3.

Mà a + b + c = 1 + 2 + (- 3) = 0.

Nên phương trình có hai nghiệm là: x = 1; x = = - 3.

Vậy, tập nghiệm của phương trình (1) là: S = {- 3; - ; 1; }

3.2. Giải phương trình bậc 4 bằng cách đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

+ Đặc điểm: Phương trình bậc 4 trong trường hợp này ở vế trái có dạng tích của bốn biểu thức biến x liên tiếp nhau hơn kém nhau một đơn vị, còn vế phải là một số.

+ Phương pháp:

• Giả sử bốn biểu thức trong tích xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là: biểu thức 1, biểu thức 2, biểu thức 3 và biểu thức 4.
• Ta thực hiện nhân biểu thức 1 với biểu thức 4, biểu thức 2 với biểu thức 3 sau đó biến đổi để có thể vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
• Đưa phương trình bậc 4 về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Giải phương trình: (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 3          (2)

Giải

Ta có: 

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 3

[ (x + 2)(x + 5)][(x + 3)(x + 4)] = 3

[x² + 7x + 10][x² + 7x + 12] = 3

[(x² + 7x + 11) - 1][(x² + 7x + 11) + 1] = 3

(x² + 7x + 11)² - 1² = 3

(x² + 7x + 11)² = 4

|x² + 7x + 11| = 2

+ Trường hợp 1: x² + 7x + 11 = 2

x² + 7x + 9 = 0

Ta có: = b² - 4ac = 7² - 4.1.9 = 13 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

x = = ; x = = .

+ Trường hợp 2: x² + 7x + 11 = - 2

 x² + 7x + 13 = 0

Ta có: = b² - 4ac = 7² - 4.1.13 = - 3 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy, tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={ ; }

3.3. Giải phương trình bậc 4 bằng cách đặt ẩn phụ

+ Phương pháp: 

• Đối với những phương trình bậc 4 có dạng phương trình trùng phương, ta có có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
• Sau khi giải ra được ẩn phụ, ta đối chiếu với điều kiện để trả về ẩn ban đầu.

Ví dụ: Giải phương trình: x⁴ - 3x² - 4 = 0     (3)

Giải

+ Đặt t = x² (với t 0), lúc này phương trình (3) trở thành:

t² - 3t - 4 = 0

Đây là phương trình bậc hai theo t có các hệ số: a = 1; b = - 3; c = - 4.

Mà a - b + c = 1 - (- 3) + (- 4) = 0.

Vậy, phương trình có hai nghiệm là: t = - 1 (loại)  và t = = 4 (thỏa mãn)

+ Với t = 4, ta có: x² = 4

x = 2 hoặc x = - 2.

Vậy, tập nghiệm của phương trình (3) là: S = {- 2; 2}

4. Bài tập phương trình bậc 4 có đáp án

Bài 1: Cho phương trình bậc 4: 2x⁴ + 6x³ - 5x² - 3x + k = 0, với k là hằng số. Biết x = - 2 là một nghiệm của phương trình, lúc này:

1. k = - 30
2. k = 20
3. k = 30
4. k = - 20

Bài 2: Số nghiệm của phương trình: x(x + 1)(x - 1)(x - 2) = 15         (1)  là:

1. 1 nghiệm
2. 2 nghiệm
3. 4 nghiệm
4. Vô nghiệm

Bài 3: x = 2 là nghiệm của phương trình bậc 4 nào sau đây?

1. x⁴ + 6x³ - 5x² - 3x + 1 = 0
2. x⁴ + 6x³ - 5x² - 3x + 2 = 0
3. 2x⁴ + 6x³ - 5x² - 3x - 50 = 0
4. 2x⁴ + 6x³ - 5x² - 3x + 40 = 0

Bài 4: Tập nghiệm của phương trình: 4x⁴ + 5x² - 9 = 0 là:

1. S = {- 2; 2}
2. S = {2}
3. S = {1}
4. S = {- 1; 1}

Bài 5: Số nghiệm của phương trình: x⁴ - x³ + 2x² - x + 1 = 0 là:

1. Vô nghiệm
2. 4 nghiệm
3. 2 nghiệm
4. 3 nghiệm

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm được dạng và cách giải phương trình bậc 4. Đồng thời có thể vận dụng vào việc giải quyết những bài toán liên quan đến phương trình bậc 4.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang