Giải và biện luận phương trình đầy đủ, chi tiết

Giải và biện luận phương trình là một nội dung kiến thức quan trọng đối với các em học sinh lớp 10. Bài viết nhằm cung cấp các kiến thức trọng tâm để nhận biết các dạng phương trình phổ biến cũng như cách giải và biện luận. Để hiểu rõ hơn những nội dung trên, các em hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất có dạng ax + b = 0

1.1. Khái niệm

• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 trong đó  a, b , a 0

Ví dụ: 2x + 5 = 0 là một phương trình bậc nhất theo ẩn x.

1.2. Cách giải và biện luận phương trình bậc nhất 

Để biện luận phương trình ax + b = 0 (*) ta cần xét các trường hợp sau:

• Nếu a = 0, b = 0: Phương trình (*) có vô số nghiệm.
• Nếu a = 0, b 0: Phương trình (*) vô nghiệm.
• Nếu a 0: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = .

1.3. Một số ví dụ về giải và biện luận phương trình bậc nhất 

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

(m - 1)x - m² + 1 = 0            (1)

Giải

• Nếu m -1 0 m 1 thì phương trình (1) trở thành:

(m - 1)x = m² - 1

x =

x =

x = m + 1

Vậy, khi m 1 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = m + 1

• Nếu m - 1 = 0 m = 1 thì phương trình (1) trở thành:

0x = 0 (đúng )

Vậy, khi m = 1 thì phương trình (1) có vô số nghiệm.

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

(m² - 4m + 5)x = 5 - m            (2)

Giải

Ta có: m² - 4m + 5

= (m² - 4m + 4) + 1

= (m - 2)² + 1

Mà (m - 2)² + 1 > 0, m nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất x =

2. Giải và biện luận phương trình bậc 2 có dạng ax² + bx + c = 0

2.1. Khái niệm

• Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax² + bx + c = 0 trong đó a, b, c ,a 0.

Ví dụ: 2x² + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai theo ẩn x.

2.2. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2

Để biện luận phương trình ax² + bx + c = 0 (**) ta cần xét các trường hợp sau:

• Nếu a = 0 thì phương trình (**) có dạng bx + c = 0.Ta có thể biện luận theo các bước như phương trình (*)
• Nếu a 0 thì phương trình (**) là phương trình bậc hai một ẩn. Ta cần xét = b² - 4ac

• • < 0 thì phương trình (**) vô nghiệm.
  • > 0 thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt x₁ = ,x₂ = .
  • = 0 thì phương trình (**) có nghiệm kép x₁ = x₂ = .

2.3. Một số ví dụ về giải và biện luận phương trình bậc 2

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

mx² - 3x + 1 = 0           (3)

Giải

• Nếu m = 0 thì phương trình (3) trở thành phương trình bậc nhất một ẩn

-3x + 1 = 0

  3x = 1

  x =

• Nếu m 0 thì phương trình (3) trở thành phương trình bậc hai một ẩn (x là ẩn, m là tham số)

Ta xét: = b² - 4ac = (-3)² - 4.m.1 = 9 - 4m

• Với  < 0 9 - 4m < 0 m >  thì phương trình (3) vô nghiệm
• Với = 0 9 - 4m = 0   m =  thì phương trình (3) có nghiệm kép x₁ = x₂ =  =
• Với > 0   9 - 4m > 0  m <  thì phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

x₁ = =  và x₂ = =

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

mx - 3 - x(1 - x) = 0           (4)

Giải

Ta có: mx - 3 - x(1 - x) = 0

 mx - 3 - x + x² = 0

 x² + (m - 1)x - 3 = 0

Đây là phương trình bậc hai theo ẩn x. Ta xét:

= b² - 4ac

= (m - 1)² - 4.1.(-3)

= (m - 1)² + 12

Mà (m - 1)² + 12 > 0, m   nên > 0. Vậy phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt

x₁ = = =

x₂ = = =

Vậy, thì phương trình (4) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ = và x₂ =

3. Bài tập áp dụng về giải và biện luận phương trình lớp 10

Câu 1: Với giá trị nào của m thì phương trình (x - 1)m + 2x = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn

A.  m

B. Không có giá trị nào của m thỏa mãn

C. m = -2

D. m -2

Câu 2: Cho phương trình m²x - 6 + 2(m + 2)x = 0, với m là tham số. Số nghiệm của phương trình này là

A. Vô nghiệm

B. Vô số nghiệm

C. Duy nhất một nghiệm

D. Chưa thể xác định còn phụ thuộc vào tham số m

Câu 3: Cho phương trình (m² - 1)x² - 2mx + 1 = 0, với m là tham số. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là

A. Khi m  phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

B. Phương trình có nghiệm duy nhất x = khi m = 1

C. Với mọi giá trị m , phương trình đã cho luôn có nghiệm

D. Khi m  và < 0, phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 4: Cho phương trình (m² + 1)x² = x - 2, với m là tham số. Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là

A. Khi > 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

B. Với mọi giá trị m , phương trình đã cho luôn vô nghiệm

C. Phương trình đã cho có nghiệm kép x₁ = x₂ = =  khi = 0

D. Khi m = -1, phương trình đã cho trở thành phương trình bậc nhất một ẩn

Câu 5: Cho phương trình 2(m² - 8m + 16)x² - 9x + 1 = 0, với m là tham số. Đây là phương trình bậc hai một ẩn khi

A. m 4

B. m 4

C. m = 4

D. m  

Câu 6: Cho phương trình 5mx + m² = 0, với m là tham số. Khi m = 0 thì phương trình

A. Có một nghiệm duy nhất x = 0

B. Vô nghiệm

C. Vô số nghiệm

D. Cả A, B, C đều sai

Thông qua nội dung một số dạng bài tập về giải và biện luận phương trình vừa nêu, mong rằng các em phần nào củng cố lại kiến thức, vận dụng vào việc giải quyết các bài tập tương tự và chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang