Phương trình tương đương là gì? Định nghĩa, ví dụ cực kì dễ hiểu

Ở các chuyên đề trước, ta đã được tìm hiểu về khái nệm phương trình và nghiệm của phương trình. Vậy hai phương trình tương đương khi nào? Bài viết sau sẽ giới thiệu tới các bạn định nghĩa và cách tìm phương trình tương đương. Cùng VOH Giáo Dục theo dõi nhé!

1. Phương trình tương đương là gì?

Định nghĩa: Hai phương trình được gọi là tương đương khi hai phương trình đó có cùng tập nghiệm.

Ví dụ 1: Hai phương trình x² = 5x và x² + = 5x + tương đương, do hai phương trình này có cùng tập nghiệm là S = {0; 5}.

2. Phép biến đổi tương đương trong giải phương trình tương đương

Để giải một phương trình nào đó, chúng ta thường biến đổi phương trình đó thành một phương trình mới tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như trên được gọi là các phép biến đổi tương đương.

Định lí dưới đây trình bày về một số phép biến đổi tương đương hay được sử dụng:

Nếu ta thực hiện các phép biển đổi được cho dưới đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta thu được một phương trình mới tương đương

a) Cộng (hoặc trừ) hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Nhận xét: Khi ta bình phương cả hai vế của một phương trình nào đó (hai vế của phương trình phải cùng dấu) thì ta thu được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

Chú ý: Khi ta thực hiện chuyển vế và đổi dấu một số hoặc một biểu thức trên một phương trình thực chất là ta đang thực hiện phép cộng hoặc trừ hai vế của phương trình với số hoặc biểu thức đó.

Ví dụ 2: Hãy giải phương trình sau bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương đã học: .

Lời giải

Điều kiện: 3x² + 11 ≥ 0, do x² ≥ 0 với mọi nên 3x² + 11 > 0 với mọi .

Suy ra điều kiện của phương trình đã cho là .

Ta có

x² = 7x  x(x – 7) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {0; 7}.

3. Các dạng bài tập về phương trình tương đương

Bài 1. Hãy điền từ (hay cụm từ) còn thiếu vào chỗ trống trong các câu dưới đây để được một phát biểu đúng:

1) Cộng hoặc ___ hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình mới ___ với phương trình ban đầu;

2) Nhân hoặc ___ hai vế của phương trình với cùng một số khác ___ hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị ___ mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu;

3) Bình phương cả hai vế của một phương trình với điều kiện hai vế của phương trình phải ___ thì ta thu được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu.

Bài 2. Trong các phương trình được cho dưới đây, phương trình nào tương đương với phương trình

(2x² + 7)(x – 3)(x + 3) = 0.

1. 2x² + 7 = 0
2. x² – 9 = 0
3. x – 3 = 0
4. x + 3 = 0

Bài 3. Hãy giải phương trình sau bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương đã học:

.

Bài 4. Trong các cặp phương trình dưới đây, đâu là hai phương trình tương đương?

A. và x = 7.

B. và x = 1.

C. và x = 1.

D. và x = 9.

Bài 5. Hãy xác định tham số a để phương trình (a + 1)x² – 2ax + a – 1 = 0 (*) và phương trình (a – 1)x² – 3x + (a + 1)² – 15 = 0 (**) tương đương.

1. a = 1
2. a = 2
3. a = 3
4. a = 4

Bài viết trên đã giới thiệu tới các bạn hiểu thế nào là hai phương trình tương đương & định lý về các phép biến đổi tương đương, đồng thời tổng hợp một số bài tập thường gặp. Mong rằng bài viết sẽ giúp các bạn học tập thật tốt.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang