Table of Contents
Hai đường thẳng cắt nhau sẽ tạo ra bốn góc. Vậy trong những góc được tạo thành đó, góc nào sẽ được gọi là góc giữa 2 đường thẳng? Góc giữa 2 đường thẳng là một góc nhọn hay một góc tù? Hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu trong bài viết dưới đây.
1. Góc giữa 2 đường thẳng được định nghĩa như thế nào?
Đường thẳng p và đường thẳng q cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất trong các góc tạo thành được gọi là số đo của góc giữa đường thẳng p và đường thẳng q, hay nói ngắn gọn hơn là góc giữa p và q.
Góc giữa 2 đường thẳng p và q được kí hiệu là (p,q)
Góc giữa 2 đường thẳng p và q luôn nằm trong đoạn từ 0o đến 90o.
Ngoài ra, góc giữa đường thẳng p và đường thẳng q chính là góc giữa hai vectơ chỉ phương hay góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng p và q.
Ví dụ minh hoạ: Cho hai đường thẳng p và q cắt nhau như hình vẽ sau đây:
Góc giữa đường thẳng p và đường thẳng q là (p,q) = 45o
Quy ước: Góc giữa đường thẳng p và đường thẳng q là 0o khi đường thẳng p trùng hoặc song song với đường thẳng q.
2. Cách xác định góc giữa 2 đường thẳng
Để xác định góc giữa đường thẳng p và đường thẳng q, ta làm như sau:
- Bước 1: Lấy một điểm I thuộc đường thẳng p
- Bước 2: Kẻ một đường thẳng đi qua điểm I và song song với đường thẳng q
Nếu đường thẳng p có vectơ chỉ phương là vectơ u1, đường thẳng q có vectơ chỉ phương là vectơ u2 và
3. Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng p và q
3.1. Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng p và q khi biết hai vectơ pháp tuyến của chúng
Bài toán: Cho đường thẳng p có phương trình: a1x + b1y + c1 = 0, suy ra p có vectơ pháp tuyến
cos(p,q) =
Cách nhớ: Cos của góc giữa 2 đường thẳng bằng trị tuyệt đối của tích vô hướng trên tích độ dài của các vectơ pháp tuyến.
Ví dụ minh hoạ: Cho đường thẳng p: 2x + 3y + 111 = 0 và đường thẳng q: -3x + 5y - 33 = 0. Tính góc giữa 2 đường thẳng p và q.
Giải
Đường thẳng p: 2x + 3y + 111 = 0 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng q: -3x + 5y - 33 = 0 có vectơ pháp tuyến
cos(p,q) =
suy ra (p,q) ≈ 64,7o
3.2. Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng p và q khi biết hai hệ số góc của chúng
Bài toán: Cho đường thẳng p có hệ số góc là k1, đường thẳng q có hệ số góc là k2. Góc giữa 2 đường thẳng p và q được tính bởi công thức sau:
tan(p,q) =
Ví dụ minh hoạ: Cho đường thẳng p có hệ số góc là k1 =
Giải
Ta áp dụng công thức trên được: tan(p,q) =
suy ra (p,q) ≈ 64,7o
4. Bài tập về góc giữa 2 đường thẳng
Câu 1: Cho đường thẳng p có phương trình: 12x - 9y + 115 = 0 và đường thẳng q có phương trình: 4x + 3y - 27 = 0. Góc giữa 2 đường thẳng trên gần với số đo nào dưới đây:
A. 72o
B. 107o
C. 73o
D. 73,7o
ĐÁP ÁN
Đường thẳng p có phương trình: 12x - 9y + 115 = 0 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng q có phương trình: 4x + 3y - 27 = 0 có vectơ pháp tuyến
cos(p,q) =
suy ra (p,q) ≈ 73,7o
Chọn đáp án D.
Câu 2: Cho đường thẳng p có phương trình: 6x - 8y + 99 = 0 và đường thẳng q có phương trình: -3x + 4y - 22 = 0. Tan của góc giữa 2 đường thẳng bằng:
A.tan(p,q) = 1
B. tan(p,q) = 0
C. tan(p,q) =
D. tan(p,q) =
ĐÁP ÁN
Cách 1: Ta áp dụng công thức cos(p,q) ⇒ (p,q) ⇒ tan(p,q)
Đường thẳng p có phương trình: 6x - 8y + 99 = 0 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng q có phương trình: -3x + 4y - 22 = 0 có vectơ pháp tuyến
cos(p,q) =
⇒ (p,q) = 0o
Từ đó suy ra: tan(p,q) = tan0o = 0.
Cách 2: Ta tìm các hệ số góc của các đường thẳng → áp dụng trực tiếp công thức tan(p,q) ở mục 3.2.
Đường thẳng p có phương trình: 6x - 8y + 99 = 0 có vectơ chỉ phương
Đường thẳng q có phương trình: -3x + 4y - 22 = 0 có vectơ chỉ phương
suy ra: tan(p,q) =
Cách 3: Ta thấy
suy ra góc giữa 2 đường thẳng p và q là 0o hay tan0o = 0
Chọn đáp án B.
Câu 3: Cho đường thẳng p có phương trình: mx - 8y + 11 = 0 và đường thẳng q có phương trình: -3x + 4y - 122 = 0. Có bao nhiêu giá trị m thoả mãn góc giữa 2 đường thẳng p và q bằng 0o?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
ĐÁP ÁN
Đường thẳng p có phương trình: mx - 8y + 11 = 0 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng q có phương trình: -3x + 4y - 122 = 0 có vectơ pháp tuyến
cos(p,q) =
⇔ cos0o =
⇔ 1 =
⇔
⇔ 25.(m2+64) = (-3m-32)2
⇔ 25m2 + 1600 = 9m2 + 192m + 1024
⇔ 16m2 - 192m + 576 = 0
⇔ m2 - 12m + 36 = 0
⇔ (m - 6)2 = 0
⇔ m - 6 = 0
⇔ m = 6
Vậy có 1 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho đường thẳng p có phương trình: y = x + 2013 và đường thẳng q có phương trình: y = - 2x - 2022. Góc giữa 2 đường thẳng trên gần nhất với số đo nào dưới đây:
A. 72o
B. 71o
C. 71,6o
D. 72,6o
ĐÁP ÁN
Đường thẳng p có phương trình: y = x + 2013 hay x - y + 2013 = 0 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng q có phương trình: y = - 2x - 2022 hay -2x -y - 2022 = 0 có vectơ pháp tuyến
cos(p,q) =
suy ra (p,q) ≈ 71,6o
Chọn đáp án C.
Câu 5: Cho đường thẳng p có phương trình:
A. cos(p,q) =
B. cos(p,q) = 1
C. cos(p,q) = 0
D. cos(p,q) =
ĐÁP ÁN
Đường thẳng p có phương trình:
Đường thẳng q có phương trình:
cos(p,q) =
Chọn đáp án A.
Trên đây là toàn bộ công thức, các dạng bài tập và lời giải chi tiết về góc giữa 2 đường thẳng. Chúc các bạn nắm chắc những dạng toán trên, tự tin phát biểu bài và kiểm tra đạt kết quả tốt về những bài toán liên quan tới nội dung trên.
Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang