Phương trình đường thẳng: tổng hợp các dạng, bài tập cực hay

a) Đường thẳng a đi qua N(-2; 3) và có VTCP là    = (2; 1).

Phương trình tham số của đường thẳng a:

b) Đường thẳng b đi qua N(-5; 3) và có VTCP là    = (-2; 7).

Phương trình chính tắc của đường thẳng b là

c) Đường thẳng c đi qua N(1; -4) và có VTPT là   = (3; 5).

Phương trình tổng quát của đường thẳng c là

3.(x - 1) + 5.(y + 4) = 0

⇔ 3x - 3 + 5y + 20 = 0

⇔ 3x + 5y + 17 = 0.

Hướng dẫn giải: Vectơ pháp tuyến của phương trình tham số luôn là hệ số đứng trước x, y.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng a là    = (3; -4)

Chọn đáp án A.

Đường thẳng a đi qua N(-1; 2) và có VTCP    = (2; -9).

Phương trình tham số của đường thẳng a là

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải: Ta thấy phương trình đường thẳng trên là phương trình tham số ⇒ vectơ chỉ phương của đường thẳng b là    = (-22; 7). Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng b là   = (7; 22) hoặc   = (-7; -22)

Chọn đáp án C.

Đường thẳng d đi qua N(-5; 7) và có    = (2; -5) là vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:  

Chọn đáp án D.

a) + Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng DE

Đường thẳng DE đi qua hai điểm D(1; 2), E(3; 2) nên có vectơ chỉ phương là = (2; 0), từ đó suy ra = (0; 2) là một vectơ pháp tuyến của DE.

Đường thẳng DE đi qua D(1; 2) và có vectơ pháp tuyến là   = (0; 2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng DE là: 0.(x-1) + 2.(y-2) = 0

⇔ 2y - 4 = 0

⇔ y - 2 = 0.

+ Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng EF

Đường thẳng EF đi qua hai điểm E(3; 2), F(5; 3) nên có vectơ chỉ phương là = (2; 1), từ đó suy ra = (1; -2) là một vectơ pháp tuyến của EF.

Đường thẳng EF đi qua E(3; 2) và có vectơ pháp tuyến là   = (1; -2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là: 1.(x-3) - 2.(y-2) = 0

⇔ x - 3 - 2y + 4 = 0

⇔ x - 2y + 1 = 0

+ Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng FD

Đường thẳng FD đi qua hai điểm F(5; 3), D(1; 2) nên có vectơ chỉ phương là = (-4; -1), từ đó suy ra = (1; -4) là một vectơ pháp tuyến của FD.

Đường thẳng FD đi qua F(5; 3) và có vectơ pháp tuyến là   = (1; -4).

Phương trình tổng quát của đường thẳng FD là: 1.(x-5) - 4.(y-3) = 0

⇔ x - 5 - 4y + 12 = 0

⇔ x - 4y + 7 = 0

b) + Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến DN

N là trung điểm của cạnh EF nên có toạ độ là N(4; )

Đường thẳng DN đi qua hai điểm D(1; 2), N(4; ) nên có vectơ chỉ phương là = (3; ), từ đó suy ra = (; -3) là một vectơ pháp tuyến của DN.

Đường thẳng DN đi qua D(1; 2) và có vectơ pháp tuyến là   = (; -3).

Phương trình tổng quát của đường thẳng DN là: .(x-1) - 3.(y-2) = 0

⇔ x - - 3y + 6 = 0

⇔ x - 3y + = 0

⇔ x - 6y + 22 = 0

+ Lập phương trình tổng quát của đường cao DK

Đường cao DK vuông góc với đường thẳng EF nên DK nhận  = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng DN đi qua D(1; 2) và có vectơ pháp tuyến là   = (2; 1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng DK là: 2.(x-1) + 1.(y-2) = 0

⇔ 2x - 2 + y - 2 = 0

⇔ 2x + y - 4 = 0