Phương trình chính tắc của elip: Khái niệm và cách viết chi tiết

Phương trình chính tắc của elip là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực hình học và toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá về phương trình chính tắc của elip có dạng như thế nào và cách viết của chúng, cùng với một số bài tập liên quan để áp dụng kiến thức. Hãy bắt đầu tìm hiểu chuyên đề của phương trình chính tắc của elip cùng với chúng tôi.

1. Nhắc lại một số đặc trưng của elip

+ Tiêu cự của elip là F₁F₂ = 2c

+ Độ dài trục lớn của elip là A₁A₂ = 2a

+ Độ dài trục bé của elip là B₁B₂ = 2b

+ Tâm sai của elip được kí hiệu là e và được xác định bởi công thức: e =

2. Phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

 (trong đó: a > b > 0)

3. Cách viết phương trình chính tắc của elip

3.1. Viết phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn, trục bé của elip

* Cách làm:

+ Có độ dài trục lớn của elip là 2a suy ra độ lớn của a.

+ Có độ dài trục bé của elip là 2b suy ra độ lớn của b.

+ Thế a, b vừa tìm được vào phương trình chính tắc của elip:

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 8 và độ dài trục bé bằng 6

Giải

+ Vì độ dài trục lớn của elip bằng 8 nên ta có:

2a = 8 suy ra a = 4

+ Vì độ dài trục bé của elip bằng 6 nên ta có:

2b = 6 suy ra b = 3

+ Phương trình chính tắc của elip là:

Hay

3.2. Viết phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn (hoặc trục bé) và tiêu cự của elip

* Cách làm:

Để viết phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục lớn và tiêu cự của elip ta làm như sau:

+ Khi cho độ dài trục lớn của elip là 2a ta suy ra độ lớn của a.

+ Khi cho độ lớn tiêu cự của elip là 2c ta suy ra độ lớn của c.

+ Thế a và c vừa tìm được vào công thức liên hệ giữa a, b, c là: a² = b² + c² ta suy ra độ lớn của b.

+ Thế a, b vừa tìm được vào phương trình chính tắc của elip:

(Đối với bài toán viết phương trình chính tắc của elip khi biết độ dài trục bé và tiêu cự của elip ta cũng làm tương tự)

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn và tiêu cự lần lượt là 12 và 8.

Giải

+ Độ dài trục lớn của elip là 2a = 12 suy ra a = 6

+ Tiêu cự của elip là 2c = 8 suy ra c = 4

+ Ta có: a² = b² + c²

Suy ra: b² = a² - c² = 6² - 4² = 20

Vậy, b = 2

+ Với a = 6, b = 2 . Ta có phương trình chính tắc của elip là:

Hay

3.3. Viết phương trình chính tắc của elip khi biết tọa độ hai điểm mà elip đi qua

* Cách làm:

+ Thế lần lượt tọa độ hai điểm mà elip đi qua vào phương trình chính tắc của elip để tìm được các giá trị a² và b².

+ Viết phương trình chính tắc của elip với a² và b² đã tìm được ở trên.

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; -1)

Giải

+ Phương trình chính tắc của elip có dạng là:

+ Vì elip đi qua điểm A(3; 0) nên ta có:

a² = 9

+ Vì elip đi qua điểm B(0; -1) nên ta có:

b² = 1

Vậy, phương trình chính tắc của elip là:

3.4. Viết phương trình chính tắc của elip khi biết tâm sai và tiêu cự của elip

* Cách làm:

+ Độ lớn tiêu cự của elip là 2c. Suy ra độ lớn của c.

+ Tâm sai của elip là: e = suy ra a =

+ Thế a và c vừa tìm được ở trên vào công thức: a² = b² + c² để tìm được độ lớn của b.

+ Viết phương trình chính tắc của elip với a, b tìm được.

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip, biết elip có tâm sai bằng và tiêu cự bằng 8.

Giải

+ Tiêu cự của elip là 2c = 8 suy ra c = 4

+ Tâm sai của elip là e = suy ra a = = 4 : = 12

+ Áp dụng công thức: a² = b² + c² suy ra b² = a² - c² = 12² - 4² = 128

Do đó, b = 8

+ Phương trình chính tắc của elip là:

Hay

4. Bài tập phương trình chính tắc của elip

Bài 1: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn và trục bé lần lượt là 6 và 4 là:

4. A, B, C đều sai

Bài 2: Biết phương trình chính tắc của elip là:

Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. Elip đã cho không đi qua điểm A(0; 1)
2. Độ dài trục lớn của elip là 12
3. Độ dài trục bé của elip là 8
4. Tiêu cự của elip là 2

Bài 3: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục bé bằng 2, tiêu cự bằng 4 là:

4. A, B, C đều sai

Bài 4: Để đưa phương trình elip: x² + 9y² = 9 về dạng phương trình chính tắc của elip, chúng ta cần:

1. Nhân hai vế của phương trình cho 9
2. Chia hai vế của phương trình cho 9
3. Nhân hai vế của phương trình cho 3
4. Chia hai vế của phương trình cho 3

Bài 5: Phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm F₁(- ; 0) và đi qua điểm B(3; 0) là:

Mong rằng thông qua bài viết, các em hãy nắm vững kiến thức này để áp dụng và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình chính tắc của elip một cách hiệu quả. Đồng thời vận dụng vào việc xử lý các bài tập liên quan. Ôn tập, chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang