Phương trình đường phân giác: Định nghĩa, cách viết và ứng dụng

Phương trình đường phân giác là một nội dung quan trọng không chỉ xuất hiện trong phần bài tập mà còn xuất hiện trong các bài kiểm tra. Vậy, phương trình đường phân giác có dạng như thế nào? Một số bài tập trọng tâm về phương trình đường phân giác có nội dung ra sao? Để hiểu rõ hơn về các vấn đề nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Dạng của phương trình đường phân giác

Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình là:

d₁ : a₁x + b₁y + c₁ = 0

d₂ : a₂x + b₂y + c₂ = 0

Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng đó có dạng là:

Chú ý: Khi hai đường thẳng cắt nhau, ta luôn viết được hai phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng đó. Trong đó, có một phương trình là phương trình đường phân giác trong, phương trình còn lại là phương trình đường phân giác ngoài

2. Cách phân biệt phương trình đường phân giác trong, đường phân giác ngoài của góc

Giả sử d₁ và d₂ là hai đường thẳng cắt nhau và có hai phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là  và .

Để kiểm tra giữa  và  đâu là phương trình đường phân giác trong, đâu là phương trình đường phân giác ngoài, ta làm như sau:

+ Lấy một điểm A  d₁ và một điểm B  d₂ sao cho A, B không phải là điểm chung của hai đường thẳng d₁, d₂

+ Thế tọa độ của hai điểm A, B lần lượt vào vế trái của phương trình đường phân giác . Nếu kết quả thu được là hai số trái dấu thì  là phương trình đường phân giác trong của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁, d₂. Nếu kết quả thu được là hai số cùng dấu thì  là phương trình đường phân giác ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁, d₂

+ Nếu  là phương trình đường phân giác trong thì  là phương trình đường phân giác ngoài và ngược lại

3. Ví dụ về phương trình đường phân giác

Ví dụ: Cho hai đường thẳng d₁ : 4x - 3y - 7 = 0 và d₂ : 3x + 4y - 1 = 0

a. Có nhận xét gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁ và d₂ ?

b. Viết các phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ ?

c. Trong các phương trình đường phân giác đã tìm được ở câu b, đâu là phương trình đường phân giác trong? Tại sao?

Giải

a. Vì nên hai đường thẳng d₁ và d₂ là hai đường thẳng cắt nhau

b. Phương trình đường phân giác thứ nhất của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

:

4x - 3y - 7 + 3x + 4y - 1 = 0

7x + y - 8 = 0

Vậy, phương trình đường phân giác thứ nhất  : 7x + y - 8 = 0

Phương trình đường phân giác thứ hai của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

:

4x - 3y - 7 - 3x - 4y + 1 = 0

x - 7y - 6 = 0

Vậy, phương trình đường phân giác thứ hai  : x - 7y - 6 = 0

c. Ta có: A(1; -1) d₁ và B(-1; 1) d₂

+ Thế tọa độ điểm A vào vế trái phương trình đường phân giác ta có:

7.1 + (-1) - 8 = -2 < 0

+ Thế tọa độ điểm B vào vế trái phương trình đường phân giác ta có:

7.(-1) + 1 - 8 = -14 < 0

Do đó, là phương trình đường phân giác ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂

Vậy, chính là phương trình đường phân giác trong của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂

4. Bài tập áp dụng về phương trình đường phân giác của góc

Bài 1: Chúng ta có thể viết được hai phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi cặp đường thẳng nào sau đây?

1. d₁ : x - y - 3 = 0 và d₂ : 2x - 2y - 6 = 0
2. d₁ : 3x + y + 4 = 0 và d₂ : 6x + 2y - 9 = 0
3. d₁ : 2x + 3y - 4 = 0 và d₂ : x + y - 5 = 0
4. d₁ : 2x - y + 1 = 0 và d₂ : 4x - 2y + 2 = 0

Bài 2: Cho hai đường thẳng d₁ : x - 1 = 0 và d₂ : 4x - 3y = 0. Khi đó:

1. d₁ và d₂ là hai đường thẳng trùng nhau
2. d₁ và d₂ là hai đường thẳng song song
3. d₁ và d₂ là hai đường thẳng cắt nhau
4. Cả A, B, C đều sai

Bài 3: Cho hai đường thẳng d₁ : x - 1 = 0 và d₂ : 4x - 3y = 0. Khi đó, phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

1. : 3x - 9y - 4 = 0 và : x - 3y + 1 = 0
2. : 9x + 3y + 5 = 0 và : x + 3y + 5 = 0
3. : 9x - 3y - 5 = 0 và : x - 3y + 5 = 0
4. : 9x - 3y - 5 = 0 và : x + 3y - 5 = 0

Bài 4: Cho hai đường thẳng d₁ : x - 1 = 0 và d₂ : 4x - 3y = 0. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. Đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0 không phải là phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d₁ và d₂
2. Đường thẳng có phương trình 9x - 3y - 5 = 0 không phải là phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d₁ và d₂
3. Đường thẳng có phương trình 9x + 3y + 5 = 0 không phải là phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d₁ và d₂
4. Đường thẳng có phương trình x + 3y + 5 = 0 không phải là phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d₁ và d₂

Bài 5: Phương trình đường phân giác ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ : x - 1 = 0 và d₂ : 4x - 3y = 0 là:

1. 9x - 3y - 5 = 0
2. x + 3y - 5 = 0
3. x + 3y + 5 = 0
4. 3x - 9y - 4 = 0

Dạng của phương trình đường phân giác và một số bài tập trọng tâm liên quan là các nội dung chính trong bài viết trên. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nắm vững lý thuyết, áp dụng vào xử lý nhiều bài tập hơn nữa. Đồng thời ôn tập, củng cố kiến thức để chuẩn bị thật tốt cho các kì thi quan trọng sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang