Phương trình đường elip: Cơ sở lý thuyết và ứng dụng trong toán học

Đường elip là một loại đường phổ biến gắn bó với con người trong cuộc sống hằng ngày và trong thế giới thiên văn học. Chẳng hạn, quỹ đạo của Trái Đất khi quay quanh Mặt Trời có hình dạng là một đường elip. Vậy, đường elip và các vấn đề trọng tâm của đường elip là gì? Chúng ta có thể áp dụng lý thuyết về đường elip để xử lý các bài tập ra sao? Để hiểu rõ hơn về các vấn đề nêu trên. Chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Đường elip là gì?

1.1. Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định F₁ và F₂ , với F₁F₂ = 2c (c > 0).

Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, trong đó a là số cho trước và a > c.

Hai điểm F₁ và F₂ được gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.

1.2. Bài tập áp dụng về định nghĩa đường elip

Bài 1: Số tiêu cự có trong một đường elip là:

1. 1
2. 2
3. 3
4. Vô số

Bài 2: Số tiêu điểm có trong một đường elip là:

1. 1
2. 2
3. 3
4. Vô số

Bài 3: Cho một đường elip có hai tiêu điểm là F₁ và F₂. Biết O là trung điểm của F₁F₂ và OF₁ = 3cm. Tiêu cự của elip trong trường hợp này là:

1. 3cm
2. 4cm
3. 5cm
4. 6cm

Bài 4: Cho một đường elip có F₁, F₂ là các tiêu điểm. M là một điểm trên elip có MF₁ + MF₂ = 2a. Biết tiêu cự của elip là 10cm. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu đúng là:

1. a > 10
2. a < 10
3. a > 5
4. a < 5

2. Một số đặc trưng của đường elip

2.1. Lý thuyết về một số đặc trưng của đường elip

+ Đường elip nhận các trục tọa độ Ox và Oy làm trục đối xứng

+ Đường elip nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

+ A₁(-a; 0), A₂(a; 0), B₁(0; -b), B₂(0; b) là các đỉnh của đường elip

+ Trục Ox (hay đoạn A₁A₂) được gọi là trục lớn của đường elip. Độ dài trục lớn là A₁A₂ = 2a

+ Trục Oy (hay đoạn B₁B₂) được gọi là trục bé của đường elip. Độ dài trục bé là B₁B₂ = 2b

+ Tâm sai của đường elip được kí hiệu bởi chữ e và được xác định bởi công thức:

+ Công thức liên hệ giữa a, b, c là: a² = b² + c²

2.2. Bài tập về một số đặc trưng của đường elip

(Các bài tập sau đây sẽ lấy đơn vị đo độ dài là cm trên các trục tọa độ)

Bài 5: Biết tọa độ của điểm A₂ là A₂(5; 0). Khi đó, độ dài trục lớn của đường elip là:

1. 5cm
2. 10cm
3. 15cm
4. 20cm

Bài 6: Biết tọa độ của điểm B₁ là B₁(0; -3). Kho đó, độ dài trục bé của đường elip là:

1. -3cm
2. -6cm
3. 3cm
4. 6cm

Bài 7: Đường elip có độ dài trục lớn là 10cm, độ dài trục bé là 6cm. Khi đó, đường elip có tiêu cự bằng:

1. 5cm
2. 4cm
3. 3cm
4. 8cm

Bài 8: Đường elip có tâm sai bằng . Độ dài nửa tiêu cự bằng 3 cm. Lúc này độ dài nửa trục bé của đường elip bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

1. 9,77cm
2. 11,62cm
3. 8,29cm
4. 10,56cm

3. Phương trình đường elip

3.1. Dạng phương trình đường elip

Phương trình elip có dạng: với a > b > 0 được gọi là phương trình chính tắc của đường elip.

3.2. Bài tập về phương trình đường elip

Bài 9: Phương trình chính tắc của đường elip có tiêu điểm F₁(-; 0), F₂(; 0) và đi qua điểm C(0; 1) là:

Bài 10: Trong các phương trình dưới đây, đâu không phải là phương trình chính tắc của đường elip?

Trên đây là phần khái quát về đường elip và các vấn đề liên quan cùng một số bài tập cơ bản. Mong rằng, thông qua bài viết có thể phần nào giúp các em củng cố kiến thức, ôn luyện và chuẩn bị thật tốt cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang