Cách tìm tâm và bán kính đường tròn cực hay, chi tiết

Đường tròn là một nội dung bài học quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 10 phần Hình học. Bên cạnh những dạng bài tập về viết phương trình đường tròn thì các dạng bài tập về cách tìm tâm và bán kính của đường tròn cũng được rất nhiều em học sinh quan tâm. Để hiểu rõ hơn về nội dung vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.

1. Nhắc lại về phương trình đường tròn

+ Phương trình đường tròn có tâm I(x_o; y_o) và có bán kính R là:

(C): (x - x_o)² + (y - y_o)² = R²

Ví dụ: (x - 2)² + (y + 1)² = 16 là phương trình đường tròn có tâm I(2; -1) và bán kính R = 4

2. Các dạng bài tập tìm tâm và bán kính đường tròn

2.1. Tìm tâm và bán kính đường tròn bằng cách đưa về phương trình tổng quát

+ Phương pháp:

• Nhóm hạng tử thích hợp
• Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ đưa về dạng: (x - a)² + (y - b)² = R²

Ví dụ: Biết đường tròn (C) có phương trình: x² + y² - 6x + 4y - 30 = 0. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).

Giải

Ta có: x² + y² - 6x + 4y - 3 = 0

 (x² - 6x + 9) + (y² + 4y + 4) - 9 - 4 - 3 = 0

 (x - 3)² + (y + 2)² = 16

Vậy, đường tròn (C) có tâm I(3; - 2) và có bán kính R = 4.

2.2. Tìm tâm và bán kính đường tròn khi biết tọa độ hai điểm tạo nên đường kính

+ Phương pháp:

• Cho biết tọa độ hai điểm A, B mà AB là đường kính
• Tâm I của đường tròn có tọa độ ( ; )
• Bán kính của đường tròn là R = IA

Ví dụ: Cho hai điểm A(3; 4) và B(1; - 2). Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) biết AB là bán kính của đường tròn (C).

Giải

+ Gọi I(x_I ; y_I) là tâm của đường tròn (C). Khi đó:

+ Ta có: = (- 2; - 6)

AB = || =

Vì đường tròn (C) có AB là đường kính nên bán kính của đường tròn (C) là:

R = AB : 2 =

Vậy, đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và có bán kính R = .

2.3. Tìm tâm và bán kính đường tròn khi biết tọa độ ba điểm mà đường tròn đi qua

+ Phương pháp:

• Cho tọa độ A, B, C là ba điểm mà đường tròn đi qua
• Gọi I(x; y) là tâm và R là bán kính của đường tròn
• Ta có: IA = IB và IB = IC nên IA² = IB² và IB² = IC². Giải hệ phương trình tìm x; y
• Bán kính của đường tròn là R = IA

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) biết đường tròn (C) đi qua ba điểm M(1; 1), N(0; -1), P(3; 0).

Giải

Gọi I(x ; y) và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) đi qua ba điểm M, N, P nên ta có: MI = NI = PI.

+ Với MI = NI

MI² = NI²

(x - 1)² + (y - 1)² = x² + (y + 1)²

x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = x² + y² + 2y + 1

2x + 4y = 1            (1)

+ Với NI = PI

NI² = PI²

x² + (y + 1)² = (x - 3)² + y²

x² + y² + 2y + 1 = x² - 6x + 9 + y²

6x + 2y = 8

3x + y = 4         (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy, I( ; )

Bán kính của đường tròn (C) là:

R = NI = = .

2.4. Tìm tâm và bán kính đường tròn liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn

+ Phương pháp:

• Cần vận dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cánh từ điểm M(x_o; y_o) đến đường thẳng d^' : ax + by + c = 0 là:

d(M, d^') =

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) biết tâm của đường tròn là giao điểm của hai đường thẳng

d₁: x - 3y + 3 = 0 và d₂: 2x + 3y - 3 = 0 và tiếp tuyến của đường tròn (C) là : x + y + 1 = 0

Giải

Gọi I(x; y) là tâm và R là bán kính của đường tròn.

Vì tâm của đường tròn (C) là giao điểm của hai đường thẳng d₁, d₂ nên tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ phương trình:

Bán kính của đường tròn (C) là:

R = d(I, ) =

Vậy, đường tròn (C) có tâm I(0; 1) và bán kính R = .

3. Bài tập tìm tâm và bán kính đường tròn

Bài 1: Đường tròn (C) : (x - 4)² + (y + 1)² = 9 có:

1. Tâm I(4; 1) và bán kính R = 9
2. Tâm I(- 4; 1) và bán kính R = 9
3. Tâm I(4; - 1) và bán kính R = 3
4. Tâm I(- 4; 1) và bán kính R = 3

Bài 2: Đường tròn (C) có tâm I(2; - 1) và tiếp tuyến là d^': x + y - 2 = 0. Lúc này, bán kính của đường tròn là:

1. R = 2
2. R = 2
3. R =
4. A, B, C đều sai

Bài 3: Đường tròn (C) có phương trình: x² + y² + 2x + 6y = 0 có tâm là:

1. I(1; 3)
2. I(- 1; - 3)
3. I(1; - 3)
4. I(- 1; 3)

Bài 4: Biết AB là đường kính của đường tròn (C) trong đó: A(1; 2), B(- 3; 0). Lúc này, tâm và bán kính của đường tròn là:

1. Tâm I(1; - 1) và bán kính R = 2.
2. Tâm I(1; - 1) và bán kính R = .
3. Tâm I(- 1; 1) và bán kính R = .
4. Tâm I(- 1; 1) và bán kính R = 2.

Bài 5: Đường tròn đi qua ba điểm M(0; 2), N(1; 1), P(1; 0) có tâm I(x; y). Trong đó:

1. x + y = 0
2. x + y = 1
3. x + y = 2
4. A, B, C đều sai

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể vận dụng vào việc giải quyết các dạng bài tập yêu cầu tìm tâm và bán kính của đường tròn. Đồng thời ôn tập, củng cố kiến thức để chuẩn bị thật tốt cho những nội dung bài học tiếp theo.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang