Phương trình đường tròn: Tìm hiểu các dạng toán và phương pháp giải

Như các bạn đã biết, đường tròn là tập hợp tất cả các điểm A cách đều điểm O cho trước các khoảng bằng nhau. Trong chương trình lớp 10, các bạn học sinh được tiếp cận và học nội dung mới về đường tròn. Đó là phương trình đường tròn. Phương trình đường tròn được viết như thế nào? Có phương pháp để học tốt nó hay không? Các bạn cùng tìm hiểu trong bài viết dưới đây.

1. Phương trình đường tròn

1.1. Phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Phương trình đường tròn (C) được viết như sau:

(x-a)² + (y-b)² = R² 

Ví dụ minh hoạ: Phương trình đường tròn tâm I(2; -5), bán kính R = 4 là

(x-2)² + (y+5)² = 16.

1.2. Phương trình đường tròn tâm O(0;0)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm O(0;0), bán kính R. Phương trình đường tròn (C) được viết như sau:

x² + y² = R² 

Ví dụ minh hoạ: Phương trình đường tròn tâm O(0;0), bán kính R = 2 là

x² + y² = 4.

1.3. Nhận xét về phương trình đường tròn

Ta có (C) có phương trình: (x-a)² + (y-b)² = R²

⇔ x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - R² = 0

⇔ x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0

Đặt c = a² + b² - R² ta được x² + y² - 2ax - 2by + c = 0. (*)

Từ đó suy ra, phương trình (*) là phương trình đường tròn và thoả mãn điều kiện a² + b² - c > 0. Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R =  

* Lưu ý: Để tìm toạ độ tâm I(a;b), ta lấy các hệ số đứng trước x, y chia cho (-2).

Ví dụ minh hoạ: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:

a) 3x² + y² - 3x + 4y - 2 = 0    (1)

b) x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0       (2)

c) x² + y² - 4x - 2y + 22 = 0      (3)

Giải

a) Phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số trước x², y² không bằng nhau.

b) Ta có a = 1; b = -2; c = 4. Xét 1² + (-2)² - (-4) = 9 > 0. Vậy phương trình (2) là phương trình đường tròn.

c) Ta có a = 2; b = 1; c = 22. Xét 2² + 1² - 22 = -17 < 0. Vậy phương trình (3) không phải phương trình đường tròn.

2. Các dạng toán về phương trình đường tròn lớp 10

2.1. Dạng toán 1: Nhận biết phương trình đường tròn

*Phương pháp giải: Áp dụng mục 1.3 ở trên để giải.

Câu 1: Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào là phương trình đường tròn

A. x² + y² - 12x + 10y + 100 = 0

B. 2x² + 2y² + 4x - 12y - 16 = 0

C. 3x² + y² - 6x - 12y - 100 = 0

D. x² + y² - 12x + 16y + 100 = 0

2.2. Dạng toán 2: Lập phương trình đường tròn (C) khi biết tâm và bán kính

*Phương pháp giải:

+ Trước tiên, chúng ta cần nhớ: Để lập được phương trình đường tròn, ta cần biết hai yếu tố là tâm và bán kính.

+ Khi đã có tâm và bán kính thì ta áp dụng mục 1.1 ở trên.

Câu 2: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm A(-2; 3) và bán kính R = 3 là:

A. (x+2)² + (y-3)² = 3

B. (x+2)² + (y-3)² = 3

C. (x-2)² + (y-3)² = 9

D. (x+2)² + (y-3)² = 9

2.3. Dạng toán 3: Lập phương trình đường tròn (C) biết tâm và đi qua một điểm

*Phương pháp giải: Giả sử cần lập phương trình đường tròn tâm I, đi qua điểm D.

+ Bước 1: Tính bán kính của đường tròn (C): R = ID. Bằng cách

+ Bước 2:  Áp dụng mục 1.1 ở trên để lập phương trình đường tròn cần tìm.

Câu 3: Lập phương trình đường tròn tâm I(-2;-3) và đi qua điểm D(1;1).

A. (x+2)² + (y+3)² = 25

B. (x+2)² + (y+3)² = 5

C. (x-2)² + (y-3)² = 25

D. (x-2)² + (y-3)² = 5

2.4. Dạng toán 4: Lập phương trình đường tròn (C) khi biết đường kính

*Phương pháp giải: Giả sử cần lập phương trình đường tròn (C) có đường kính CD.

+ Bước 1: Tìm tâm I(a;b) của đường tròn (C) chính là trung điểm của CD. Bằng cách  

+ Bước 2: Tính bán kính của đường tròn (C): R = IC = ID =  . Bằng cách

+ Bước 3: Áp dụng mục 1.1 ở trên để lập phương trình đường tròn cần tìm.

Câu 4: Lập phương trình đường tròn (C) có đường kính DC với D(-1; 2), C(1; 4).

A. x² + (y-3)² =

B. x² + (y-3)² =

C. x² + (y-3)² = 2

D. x² + (y+3)² = 2

Câu 5: Lập phương trình đường tròn (C) có đường kính EF với E(1; -2), F(1; -4).

A. (x-1)² + (y+4)² = 1

B. (x-1)² + (y+2)² = 1

C. (x+1)² + (y-3)² = 19

D. (x-1)² + (y+3)² = 1

2.5. Dạng toán 5: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm

*Phương pháp giải: Giả sử cần lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M, N, P.

+ Bước 1: Giả sử phương trình đường tròn (C) cần tìm có dạng: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (*)

+ Bước 2: Đường tròn (C) đi qua ba điểm M, N, P nên ta thay toạ độ các điểm M, N, P vào (*), ta được hệ phương trình ba ẩn a, b, c

+ Bước 3: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm ra các ẩn a, b, c.

+ Bước 4: Thay các giá trị của a, b, c vừa tìm được ở bước 3 vào phương trình (*). Ta được phương trình đường tròn cần tìm.

Câu 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(1;0), N(-1;1), P(0;2).

A.

B.

C.

D.

2.6. Dạng toán 6: Lập phương trình đường tròn (C) khi biết tâm và (C) tiếp xúc với đường thẳng

*Phương pháp giải: Giả sử cần lập phương trình đường tròn (C) khi biết tâm I(x_o;y_o) và tiếp xúc với đường thẳng m: ax + by + c = 0

+ Bước 1: Tìm bán kính của đường tròn (C): R = d(I, m) =  

+ Bước 2: Áp dụng mục 1.1 ở trên để lập phương trình đường tròn cần tìm.

Câu 7: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(-2;2) và tiếp xúc với đường thẳng m: 2x - y - 4 = 0.

A. (x - 2)² + (y + 2)² =  

B. (x + 2)² + (y - 2)² = 20

C. (x - 2)² + (y + 2)² = 20

D. (x + 2)² + (y - 2)² =  

Trên đây là tất tần tật về lý thuyết, các dạng toán cụ thể cùng với phương pháp giải và lời giải rất chi tiết, cụ thể. VOH Giáo Dục tin rằng, qua bài viết này, các bạn sẽ hiểu sâu hơn về phương trình đường tròn và làm các dạng toán tương tự một cách thuần thục. Kênh VOH hy vọng các bạn học tập tốt và hãy luôn đồng hành cùng chúng tôi.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang