Phương trình tổng quát của đường thẳng: Cách viết & các dạng toán liên quan

Các bạn đã được làm quen với các dạng phương trình đường thẳng. Trong đó, tần số xuất hiện của phương trình tổng quát của đường thẳng là nhiều nhất. Nội dung của nó còn liên quan đến một số chuyên đề ở các lớp trên. Để nắm chắc phần nội dung này, các bạn theo dõi bài viết dưới đây.

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng là gì?

Đường thẳng Δ đi qua điểm E(x_o; y_o) và nhận vectơ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ có dạng:

a.(x-x_o) + b.(y-y_o) = 0

2. Các dạng toán lập phương trình tổng quát của đường thẳng

2.1. Bài toán 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng khi biết điểm đi qua và một vectơ

*Phương pháp giải:

+ Nếu đường thẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến thì ta áp dụng cách viết ở mục 1.

+ Nếu đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương thì ta đổi vectơ chỉ phương sang vectơ pháp tuyến rồi mới áp dụng cách viết ở mục 1. Chẳng hạn, vectơ chỉ phương   = (-1; 2) suy ra vectơ pháp tuyến là   = (2; 1) hoặc   = (-2; -1). Cách nhớ: đổi vị trí x, y và đổi dấu một vị trí.

Câu 1: Đường thẳng p đi qua điểm E(-3; 3) và có vectơ pháp tuyến   = (1; 2). Phương trình tổng quát của đường thẳng p là

A. x + 2y + 3 = 0

B. x - 2y - 3 = 0

C. 2x - y - 3 = 0

D. x + 2y - 3 = 0

 Đường thẳng p đi qua điểm E(-3; 3) và có vectơ pháp tuyến   = (1; 2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng p là

1.(x+3) + 2.(y-3) = 0

⇔ x + 3 + 2y - 6 = 0

⇔ x + 2y - 3 = 0

Chọn đáp án D.

Câu 2: Đường thẳng q đi qua điểm E(-2; 3) và có vectơ chỉ phương  = (1; -2). Phương trình tổng quát của đường thẳng q là

A. 2x - y + 1 = 0

B. x + 2y + 1 = 0

C. 2x + y + 1 = 0

D. 2x + y - 1 = 0

Đường thẳng q đi qua điểm E(-2; 3) và có vectơ chỉ phương  = (1; -2), suy ra vectơ pháp tuyến là   = (2; 1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng q là

2.(x+2) + 1.(y-3) = 0

⇔ 2x + 4 + y - 3 = 0

⇔ 2x + y + 1 = 0

Chọn đáp án C.

2.2. Bài toán 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm

*Phương pháp giải:

Đường thẳng p đi qua hai điểm E và F. Ta có điểm đi qua là E ( hoặc F) và có vectơ chỉ phương là , suy ra vectơ pháp tuyến  . Từ đó ta viết phương trình tổng quát của đường thẳng p.

Câu 3: Đường thẳng p đi qua hai điểm M(-2; 1), N(0; 2). Phương trình tổng quát của đưởng thẳng p là

A. x + 2y + 4 = 0

B. x - 2y + 4 = 0

C. 2x + y + 4 = 0

D. x - 2y - 4 = 0

Đường thẳng p đi qua hai điểm M(-2; 1), N(0; 2) nên có vectơ chỉ phương là = (2; 1) suy ra vectơ pháp tuyến là   = (1; -2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng p là

1.(x+2) - 2.(y-1) = 0

⇔ x + 2 - 2y + 2 = 0

⇔ x - 2y + 4 = 0

Chọn đáp án B.

Câu 4: Cho tam giác IJK, biết I(1; -2), J(0; 3), K(7; 9). Phương trình tổng quát của đường cao IH là

A. 7x + 6y + 5 = 0

B. -7x + 6y + 5 = 0

C. 7x - 6y + 5 = 0

D. 7x + 6y - 5 = 0

Vì IH là đường cao tương ứng với cạnh JK nên  =(7; 6) là vectơ pháp tuyến của đường cao IH.

Đường cao IH đi qua I(1; -2) và có vectơ pháp tuyến là  =(7; 6).

Phương trình đường cao IH là

7.(x-1) + 6.(y+2) = 0

⇔ 7x - 7 + 6y + 12 = 0

⇔ 7x + 6y + 5 = 0

Chọn đáp án A.

Câu 5: Cho tam giác IJK, biết I(1; -2), J(0; 3), K(6; 7). Phương trình tổng quát của đường trung tuyến IM là

A. 7x - 2y + 11 = 0

B. 7x - 2y - 11 = 0

C. 2x + 7y - 11 = 0

D. 7x + 2y - 11 = 0

Đường trung tuyến IM tương ứng với cạnh JK nên M là trung điểm của JK, suy ra toạ độ M(3; 5).

Đường trung tuyến IM đi qua hai điểm I(1; -2), M(3; 5) nên có vectơ chỉ phương là = (2; 7) suy ra vectơ pháp tuyến là   = (7; -2).

Phương trình tổng quát của IM là

7.(x-1) - 2.(y+2) = 0

⇔ 7x - 7 - 2y - 4 = 0

⇔ 7x - 2y - 11 = 0

Chọn đáp án B.

2.3. Bài toán 3: Lập phương trình tổng quát của đưởng thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k

*Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng đi qua N(x_o; y_o) và có hệ số góc k có dạng:

y = k.(x-x_o) + y_o 

Câu 6: Phương trình tổng quát của đường thẳng p đi qua N(2; 5) và có hệ số góc k = -6 là

A. -6x + y - 17 = 0

B. 6x - y - 17 = 0

C. 6x + y - 17 = 0

D. 6x + y + 17 = 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng p đi qua N(2; 5) và có hệ số góc k = -6 là

y = -6.(x-2) + 5

⇔ y = -6x + 12 + 5

⇔ 6x + y - 17 = 0

Chọn đáp án C.

Câu 7: Phương trình tổng quát của đường thẳng p đi qua K(-2; -5) và có hệ số góc k = 3 là

A. 3x - y + 1 = 0

B. -3x - y + 1 = 0

C. 3x + y + 1 = 0

D. 3x - y - 1 = 0

Phương trình tổng quát của đường thẳng p đi qua K(-2; -5) và có hệ số góc k = 3 là

y = 3(x+2) - 5

⇔ y = 3x + 6 - 5

⇔ -3x + y - 1 = 0

⇔ 3x - y + 1 = 0

Chọn đáp án A.

Trên đây là toàn bộ nội dung và các dạng toán thường gặp về phương trình tổng quát của đường thẳng trong các đề thi. Bên cạnh đó, mỗi bài toán đều đưa ra phương pháp và lời giải chi tiết, dễ hiểu. VOH Giáo Dục hy vọng bạn học hiểu và nắm vững nội dung trên.

Biên soạn và chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang