Table of Contents
Hình chóp cụt là một nội dung kiến thức quan trọng được đề cập trong chương trình môn Toán lớp 11. Vậy, hình chóp cụt là gì? Làm sao để tính được diện tích hình chóp cụt? Để có thể trả lời cho những câu hỏi vừa nêu, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.
1. Hình chóp cụt là gì?
Hình chóp cụt là phần chóp nằm giữa đáy và thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với đáy hình chóp.
1.1. Hình chóp cụt tam giác
+ Hình chóp cụt tam giác là hình chóp cụt có đáy là một tam giác.
+ Hình chóp cụt tam giác được hình thành khi cho trước một hình chóp tam giác S.ABC và một mặt phẳng (Q) không đi qua đỉnh S và song song với mặt phẳng đáy (ABC), cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại A', B', C'. Lúc này, ta thu được hình chóp cụt tam giác có tên là A'B'C'.ABC.
Ví dụ: Hình chóp cụt tam giác A'B'C'.ABC là hình hợp bởi thiết diện A'B'C', đáy ABC và các tứ diện A'B'BA, B'C'CB, A'C'CA.
+ Các đặc trưng của hình chóp cụt tam giác A'B'C'.ABC
- Có 3 cạnh bên là các đoạn thẳng: A'A, B'B, C'C.
- Có 3 mặt bên là các tứ giác: A'B'BA, B'C'CB, A'C'CA.
- Đáy lớn ABC.
- Đáy nhỏ là thiết diện A'B'C'.
1.2. Hình chóp cụt tứ giác
+ Hình chóp cụt tứ giác là hình chóp cụt có đáy là một tứ giác.
+ Hình chóp cụt tứ giác được hình thành khi cho trước một hình chóp tứ giác S.ABCD và một mặt phẳng (Q) không đi qua đỉnh S và song song với mặt phẳng đáy (ABCD), cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại A', B', C', D'. Lúc này, ta thu được hình chóp cụt tứ giác có tên là A'B'C'D'.ABCD.
Ví dụ: Hình chóp cụt tứ giác A'B'C'D'.ABCD là hình hợp bởi thiết diện A'B'C'D', đáy ABCD và các tứ diện A'B'BA, B'C'CB, C'D'DC, A'D'DA.
+ Các đặc trưng của hình chóp cụt tứ giác A'B'C'D'.ABCD
- Có 4 cạnh bên là các đoạn thẳng: A'A, B'B, C'C, D'D.
- Có 4 mặt bên là các tứ giác: A'B'BA, B'C'CB, C'D'DC, A'D'DA.
- Đáy lớn ABCD.
- Đáy nhỏ là thiết diện A'B'C'D'.
2. Công thức tính diện tích hình chóp cụt
2.1. Diện tích xung quanh hình chóp cụt
+ Muốn tính diện tích xung quanh hình chóp cụt, ta lấy diện tích các mặt bên của hình chóp cụt cộng lại cho nhau.
2.2. Diện tích toàn phần hình chóp cụt
+ Muốn tính diện tích toàn phần hình chóp cụt, ta lấy diện tích xung quanh của hình chóp cụt cộng với diện tích hai đáy.
3. Tính chất hình chóp cụt
+ Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.
+ Các mặt bên là những hình thang.
+ Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
4. Bài tập về hình chóp cụt
4.1. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho hình chóp cụt tam giác A'B'C'.ABC.
a. Viết công thức tính diện tích xung quanh hình chóp cụt tam giác.
b. Viết công thức tính diện tích toàn phần hình chóp cụt tam giác.
ĐÁP ÁN
a. Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp cụt tam giác là:
Sxq = SA'B'BA + SB'C'CB + SA'C'CA.
b. Công thức tính diện tích toàn phần hình chóp cụt tam giác là:
Stp = Sxq + S2đáy = SA'B'BA + SB'C'CB + SA'C'CA + SA'B'C' + SABC.
Bài 2: Cho hình chóp cụt tứ giác A'B'C'D'.ABCD.
a. Viết công thức tính diện tích xung quanh hình chóp cụt tứ giác.
b. Viết công thức tính diện tích toàn phần hình chóp cụt tứ giác.
ĐÁP ÁN
a. Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp cụt tứ giác là:
Sxq = SA'B'BA + SB'C'CB + SC'D'DC + SA'D'DA.
b. Công thức tính diện tích toàn phần hình chóp cụt tứ giác là:
Stp = Sxq + S2đáy = SA'B'BA + SB'C'CB + SC'D'DC + SA'D'DA + SA'B'C'D' + SABCD.
4.2. Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 3: Trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:
- Hình chóp cụt tam giác và hình chóp cụt tứ giác có cùng số cạnh bên.
- Hình chóp cụt tam giác và hình chóp cụt tứ giác có cùng số mặt bên.
- Hình chóp cụt tam giác và hình chóp cụt tứ giác có cùng số mặt đáy.
- Hình chóp cụt tam giác và hình chóp cụt tứ giác có cùng số cạnh đáy.
ĐÁP ÁN
Hình chóp cụt tam giác và hình chóp cụt tứ giác đều có một đáy lớn và một đáy nhỏ.
Chọn câu C
Bài 4: Cho hình chóp cụt A'B'C'.ABC.
Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:
- ABC là đáy lớn.
- A'B'C' là đáy nhỏ.
- Tam giác A'B'C' và tam giác ABC là hai tam giác đồng dạng với nhau.
- A'B' song song với BC.
ĐÁP ÁN
+ A, B đúng.
+ Theo tính chất hình chóp cụt, tỉ số các cạnh tương ứng ở đáy bằng nhau nên ta có:
Do đó, tam giác A'B'C' và tam giác ABC là hai tam giác đồng dạng với nhau theo tỉ số k theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.
Vậy, C đúng.
+ A'B' song song với AB chứ không song song với BC.
Vậy, D sai.
Chọn câu D
Bài 5: Cho hình chóp cụt tứ giác A'B'C'D'.ABCD.
Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:
- AB và CD là hai cạnh song song.
- Các đường thẳng chứa các cạnh A'A và B'B đồng quy tại một điểm.
- Các đường thẳng chứa các cạnh AB và A'B' đồng quy tại một điểm.
- A'B' và C'D' là hai cạnh song song.
ĐÁP ÁN
+ Đề bài chưa cho ABCD là một tứ giác đặc biệt nên AB và CD là hai cạnh không song song.
Vậy, A sai.
+ Theo tính chất hình chóp cụt, các đường thẳng chứa các cạnh bên sẽ đồng quy tại một điểm.
Mà A'A và B'B là các cạnh bên của hình chóp cụt A'B'C'D'.ABCD nên các đường thẳng chứa hai cạnh này sẽ đồng quy tại một điểm.
Vậy, B đúng.
+ AB và A'B' là hai cạnh song song với nhau nên các đường thẳng chứa hai cạnh này không thể đồng quy tại một điểm.
Vậy, C sai.
+ A'B' và C'D' chỉ là hai cạnh đối diện trong tứ giác A'B'C'D' nên không song song với nhau.
Vậy, D sai.
Chọn câu B
Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nhận biết được thế nào là hình chóp cụt, công thức tính diện tích hình chóp cụt. Đồng thời, vận dụng kiến thức về hình chóp cụt để giải quyết những câu hỏi và bài tập liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang