Trong bài viết này chúng ta sẽ trả lời được hai câu hỏi: "Định lý là gì?" và "Làm thế nào để chứng minh một định lý". Cùng tìm câu trả lời nhé!
1. Định lý là gì?
Định lý là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được cho là đúng.
Ví dụ như ta có tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Đây là một khẳng định được suy luận ra từ những khẳng định khác chứ không phải bằng cách kiểm tra trực tiếp. Tính chất đó được gọi là định lý.
Định lý thường được viết dưới dạng: Nếu A thì B. Trong đó, A được gọi là giả thiết, B là kết luận suy ra từ giả thiết A.
Lấy một số ví dụ như sau:
Ví dụ 1:
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Giả thiết của định lý là: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.
Kết luận của định lý là: chúng song song với nhau.
Ví dụ 2:
Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường còn lại.
Giả thiết của định lý là: một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.
Kết luận của định lý là: nó cũng vuông góc với đường còn lại.
Ví dụ 3:
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Giả thiết của định lý là: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
Kết luận của định lý là: chúng song song với nhau.
Qua các ví dụ trên, ta nhận thấy việc xác định giả thiết và kết luận của một định lý thường rất đơn giản. Phần nội dung nằm giữ 'Nếu' và 'thì' được xác định là giả thiết, phần còn lại được xác định là kết luận.
Nhưng trong một số trường hợp, người ta thường lượt bỏ từ 'nếu', lúc này ta xác định như sau: phía trước từ 'thì' là giả thiết, phía sau từ 'thì' là kết luận.
Ký hiệu:
Giả thiết được ký hiệu là GT.
Kết luận được ký hiệu là KL.
2. Chứng minh định lý
Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.
Ta có các bước chứng minh định lý đơn giản như sau:
- Bước 1: Xác định giả thiết, kết luận của định lý.
- Bước 2: Dùng các lập luận chính xác, rõ ràng để đưa từ giả thiết đến kết luận.
Chúng ta cùng tìm hiểu các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách chứng minh một định lý.
Ví dụ: Chứng minh định lý sau
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Giải
- Bước 1: Ta xác định giả thiết và kết luận của định lý.
Dựa vào cách xác định giả thiết và kết luận đã nêu ở phần 1. Ta có giả thiết và kết luận của định lý này như sau:
GT: hai góc đối đỉnh.
KL: bằng nhau.
- Bước 2: Dùng các lập luận chính xác, rõ ràng để đưa từ giả thiết đến kết luận.
Muốn chứng minh một cách dễ dàng chúng ta cần có hình minh họa. Ta vẽ được hình minh họa nhờ vào giả thiết của định lý: Hai góc đối đỉnh.
Ta vẽ hai góc AEC và góc BED đối đỉnh nhau.
Tiếp theo dùng các lập luận để chứng minh hai góc AEC và BED bằng nhau.
Ta có:
Suy ra
Suy ra
Vậy ta đã chứng minh được định lý: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
3. Bài tập áp dụng chứng minh định lý
Bài 1. Điền vào chỗ trống
a. Định lý là một khẳng định được...từ những...được cho là...
b. Trong định lý, phần nội dung nằm giữa 'nếu' và 'thì' được xác định là...
c. Trong định lý, phần nội dung nằm sau 'thì' được xác định là...
d. GT là ký hiệu của...
e. KL là ký hiệu của...
f. ...là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra...
ĐÁP ÁN
a.
Định lý là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định được cho là đúng.
b.
Trong định lý, phần nội dung nằm giữa 'nếu' và 'thì' được xác định là giả thiết.
c.
Trong định lý, phần nội dung nằm sau 'thì' được xác định là kết luận.
d.
GT là ký hiệu của giả thuyết.
e.
KL là ký hiệu của kết luận.
f.
Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.
Bài 2. Hãy xác định giả thiết và kết luận của các định lý sau:
a. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc trong cùng phía bù nhau.
b. Hai góc bù nhau thì tổng hai góc là 180 độ.
c. Góc tạo bởi hai tia phân giác của một góc kề bù là một góc vuông.
d. Hai góc phụ nhau thì tổng hai góc là 90 độ.
e. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.
f. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau.
ĐÁP ÁN
a.
Áp dụng kiến thức đã học ở phần 1: Phần nội dung nằm giữ 'Nếu' và 'thì' được xác định là giả thiết, phần còn lại được xác định là kết luận.
Ta được:
Giả thiết là: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
Kết luận là: hai góc trong cùng phía bù nhau.
b.
Áp dụng kiến thức đã học ở phần 1: phía trước từ 'thì' là giả thiết, phía sau từ 'thì' là kết luận.
Ta được:
Giả thiết là: hai góc bù nhau.
Kết luận là: tổng hai góc bằng 180 độ.
c.
Trong định lý này không dùng từ 'thì' nhưng lại thay bằng từ 'là'. Ta xác định như sau: phía trước từ 'là' là giả thiết, phía sau từ 'là' là kết luận.
Ta được:
Giả thiết là: góc tạo bởi hai tia phân giác của một góc kề bù.
Kết luận là: một góc vuông
d.
Áp dụng kiến thức đã học ở phần 1: phía trước từ 'thì' là giả thiết, phía sau từ 'thì' là kết luận.
Ta được:
Giả thiết là: hai góc phụ nhau.
Kết luận là: tổng hai góc là 90 độ.
e.
Áp dụng kiến thức đã học ở phần 1: Phần nội dung nằm giữ 'Nếu' và 'thì' được xác định là giả thiết, phần còn lại được xác định là kết luận.
Ta được:
Giả thiết là: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
Kết luận là: hai góc so le trong bằng nhau.
f.
Áp dụng kiến thức đã học ở phần 1: Phần nội dung nằm giữ 'Nếu' và 'thì' được xác định là giả thiết, phần còn lại được xác định là kết luận.
Ta được:
Giả thiết là: một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
Kết luận là: hai góc đồng vị bằng nhau.
Bài 3. Chứng minh định lý sau: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song
ĐÁP ÁN
Áp dụng các bước chứng minh định lý đã nhắc đến ở phần 2.
Ta xác định giả thiết và kết luận
Giả thiết: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
Kết luận: song song với nhau.
Tiếp theo, ta dùng lập luận để đưa từ giả thiết đến kết luận.
Ta có hình minh họa như sau:
Cho đường thẳng j, hai đường thẳng i và h vuông góc với j lần lượt tại M và L. Chứng minh i và h song song.
Ta có
mà hai góc này là hai góc trong cùng phía
Suy ra i và h là hai đường thẳng song song.
Vậy là chúng ta đã tìm hiểu xong về thế nào là định lý, cách chứng minh một định lý cơ bản. Chứng minh định lý là kiến thức quan trọng trong toán học nên các bạn học sinh cần nắm rõ để có thể học tốt các bài học sau.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang