Cùng tìm hiểu lũy thừa của một số hữu tỉ là gì?

Như các bạn đã biết, x² là x bình phương, x³ là x lập phương, vậy xⁿ ( với n là số bất kì) là gì? Được định nghĩa như thế nào? Cách đọc ra sao? Có những tính chất gì giống và khác nhau so với tính chất của x² và x³.

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

- Với a là một số tự nhiên bất kì thì lũy thừa của a được định nghĩa như sau: Lũy thừa bậc m của a là tích của m số a nhân với nhau ( với a là số tự nhiên)

- Kí hiệu: a^m, đọc là a mũ m, a lũy thừa m hoặc lũy thừa bậc m của a.

Trong đó: a được gọi là cơ số, m được gọi là bậc của a hoặc số mũ 

Ví dụ: 2⁷, đọc là 2 mũ 7, 2 lũy thừa 7 hoặc lũy thừa bậc 7 của 2

Với 2 là cơ số và 7 là số mũ

Với m>1, ta có:

                        a^m =  

- Nếu  là một số hữu tỉ thì lũy thừa bậc p của m là: 

 (với )

 Ví dụ:  

2. Lũy thừa của một số hữu tỉ là gì?

Không phải chỉ tồn tại lũy thừa với số mũ tự nhiên mà còn tồn tại cả lũy thừa với số mũ nguyên âm

- Lũy thừa của số tự nhiên với số mũ nguyên âm được định nghĩa như sau:  a^-m = .

Ví dụ: 5^-2 =  

Trường hợp đặc biệt với m = 1, ta có a^-1 = , đây chính là nghịch đảo của a.

 Ví dụ:  7^-1 =

 - Lũy thừa của số hữu tỉ với số mũ nguyên âm:

Ví dụ:  

Trường hợp đặc biệt, nếu a = 1, thì ta có: 

Ví dụ:  

Cách đọc tên của những số này tương tự như cách đọc tên của lũy thừa với số mũ tự nhiên.

3. Các tính chất lũy thừa của một số hữu tỉ

- Với mọi số a =  

+ Lũy thừa bậc 1 của một số bằng chính nó: a¹=a

Ví dụ: 9¹ = 9, (-3)¹=-3,  

+ Lũy thừa bậc 0 của một số luôn bằng 1: a⁰ = 1

Ví dụ: 2⁰=1,  

- Tính chất đặc biệt của số 1 và số 0:

1^m =1 ( với m là số bất kì)

Ví dụ: 1²⁵=1, 1^-2022=1

0^m = 0 (với m là số bất kì)

0⁵ = 0

- Xét a^m

+ Nếu a < 0, m chẵn thì a^m>0

Ví dụ: (-2)⁸ = 256 > 0, >0

+ Nếu a<0, m lẻ thì a^m < 0

Ví dụ: (-3)³ = -27 < 0, <0

+ Nếu a > 0, m chẵn hoặc lẻ thì a^m>0

Ví dụ: 2⁵ = 32 > 0

>0

4. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Với a là hai số hữu tỉ bất kì, ta có: 

a^m.aⁿ = a^m+n

Ví dụ:

5. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Với a là hai số hữu tỉ bất kì, ta có: 

a^m : aⁿ = a^m-n

Ví dụ:  

*Lưu ý: Phép nhân, phép chia hai lũy thừa cùng cơ số cũng được mở rộng với nhiều lũy thừa cùng cơ số

6. Dạng bài tập lũy thừa của một số hữu tỉ cơ bản cần biết 

6.1. Dạng 1: Đọc tên lũy thừa của một số hữu tỉ

*Phương pháp giải:

- Dựa vào định nghĩa của lũy thừa

- Dựa vào kí hiệu và cách đọc tên của lũy thừa

Ví dụ: Đọc tên số sau đây bằng tất cả cách cách đọc:

mũ 5, lũy thừa 5 hoặc lũy thừa bậc 5 của

Bài tập luyện tập

Bài 1: Đọc tên các số sau đây bằng tất cả các cách: (-3)⁶,

Bài 2: Đọc tên các số sau đây bằng tất cả các cách: 5^-3,

6.2. Dạng 2: Từ cách đọc tên viết ra các lũy thừa của một số

*Phương pháp giải:

- Dựa vào định nghĩa của lũy thừa

- Dựa vào kí hiệu và cách đọc tên của lũy thừa

- Dựa vào các tính chất mở rộng

Ví dụ: Viết số sau theo tên gọi:

Lũy thừa bậc 3 của :

Bài tập luyện tập

Bài 1: Viết các số sau theo đúng tên gọi của chúng:

a) 4 mũ 19

b) Lũy thừa bậc 87 của

c) lũy thừa 200

d) Lũy thừa bậc 299 của

Bài 2: Viết các số sau theo đúng tên gọi của chúng:

a) (-5) mũ -25

b) lũy thừa -9

c) Lũy thừa bậc -81 của

d) mũ -55

6.3. Dạng 3: Tính các lũy thừa

*Phương pháp giải:

Dựa vào mở rộng lũy thừa với số mũ tự nhiên, tính chất lũy thừa của một số hữu tỉ, phép nhân, phép chia các số hữu tỉ để giải bài toán

Ví dụ: Tính lũy thừa sau:

Ta có:

Bài 1: Tính các lũy thừa sau:

a)

b)

c)

d)

Bài 2: Tính các lũy thừa sau:

a) 9^-2

^b)

c)

d)

6.4. Dạng 4: Thực hiện phép nhân, phép chia hai lũy thừa cùng cơ số

*Phương pháp giải:

Dựa vào công thức, cách nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số đã nêu ở phần lí thuyết để giải bài toán

Ví dụ:

Bài tập luyện tập

Bài 1: Thực hiện phép nhân hai lũy thừa cùng cơ số sau đây:

a) 9².9³

b)

c)

d)

Bài 2: Thực hiện phép chia hai lũy thừa cùng cơ số sau đây:

a) (-3)⁶ : (-3)³ 

b)

c)

d)

Bài viết này là toàn bộ lý thuyết quan trọng và các dạng bài tập cơ bản về lũy thừa của một số hữu tỉ, các bạn học nên sinh tham khảo để có thể nắm chắc lí thuyết quan trọng này trong chương trình học của mình.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang