Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì? Cách tính như thế nào?

Ở lớp 6 chúng ta được học về số thập phân. Và lên lớp 7 chúng ta được học 2 dạng của số thập phân, một trong số đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Vậy theo chúng ta số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì? Làm thế nào để giải các bài tập liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn? Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu bài viết dưới đây để giải đáp thắc mắc đó nhé.

I. Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì?

- Khái niệm: Một phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn nếu phân số đó là phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5.

- Ví dụ: = 0,(09); = 0,(01); ... 

Khi đó các số 0,(09); 0,(01);... là các số thập phân vô hạn tuần hoàn.

*Chú ý: Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn và ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.

II. Các dạng bài tập liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn

1. Nhận biết một phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

*Phương pháp giải: Để biết được một phân số có viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không, ta làm như sau:

• Bước 1: Viết phân số đó dưới dạng phân số tối giản với mẫu số dương.
• Bước 2: Phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 3: Mẫu số của phân số có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

*Ví dụ: Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Giải: 

- Ta thấy các phân số đề ra đều đã được viết dưới dạng phân số tối giản.

- Ta phân tích các mẫu số của các phân số đó ra thừa số nguyên tố: 4 = 2²; 11=11; 3 = 3; 20 = 2². 5

- Ta thấy các mẫu số 11; 3 có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên các phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

2. Viết một phân số hoặc một tỉ số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

*Phương pháp giải: Để viết phân số  dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ta thực hiện phép chia a : b.

*Ví dụ: Biến đổi các phân số sau thành số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Giải:

Ta có: 2 : 11 = 0,181818181818 ...

          1 : 3 = 0,3333333333333 ...

          2 : 15 = 0,133333333333 ...

Từ đó, ta có: = 0,(18), = 0,(3), = 0,1(3).

3. Biến đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số tối giản

*Phương pháp giải:

Để biến đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số ta tách số thập phân vô hạn tuần hoàn thành tổng của phần nguyên cộng với phần thập phân viết thành phân số tối giản. Sau đó tỉnh tổng đó sẽ được kết quả cần tìm.

Để viết phần thập phân thành phân số tối giản ta làm như sau:

Đối với phần thập phân chỉ có chu kì thì ta lấy chu kì làm tử, còn mẫu là các chữ số 9, số chữ số 9 đúng bằng số chữ số của chu kì.

Đối với phần thập phân mà ngoài chu kì còn có các số khác đứng trước chu kì thì ta lấy số tạo bởi phần thập phân trừ đi số tạo bởi các chữ số đứng trước chu kì làm tử, mẫu là số gồm các chữ số 9 và các chữ số 0 kèm theo, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của số đứng trước chu kì.

*Ví dụ: Cho các số thập phân sau: 0,(12); 3,(2); 8,1(04); 2,12(01). Hãy biến đổi các số đó thành phân số tối giản.

Giải: 

Ta có:

0,(12) = 0 + =

3,(2) = 3 + 0,(2) = 3 + =

8,1(04) = 8 + 0,1(04) = 8 +

2,12(01) = 2 + 0,12(01) = 2 +

4. Bài toán thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn.

*Phương pháp giải: Ta viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số và thực hiện phép tính với các phân số.

*Ví dụ: Tính: 0,(12) + 1,1(01)

Giải:

0,(12) + 1,1(01) =

5. Tìm x. Tính giá trị biểu thức liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn.

*Phương pháp giải: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng các phân số, thực hiện phép tính với các phân số đã cho để tìm x hoặc tính giá trị biểu thức.

*Ví dụ: Tìm x, biết: x + 0,(12) = 7,(1)

Giải:

x + 0,(12) = 7,(1)

x +

x =  

III. Một số bài tập vận dụng về số thập phân số hạn tuần hoàn

1. Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả của phép tính: 1,(01) + 5,(2) - 6,1(02) là:

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Trong các phân số sau, phân số ào được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là:

A. 1,1(81)

B. 1,(18)

C. 1,(81)

D. 1,18(18)

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Hãy viết các phân số đó dưới dạng số  thập phân vô hạn tuần hoàn.

Bài 2: Hãy biến đổi các số thập phân sau thành phân số tối giản:

a. 0,1(22)

b. 3,(23)

c. 9,99(01)

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau (tính nhanh nếu có thể):

a. A = x + 7,9(1) - 4,01(23), với x = 3,1(12)

b. B = 2,(13).x + 1,(12).y, với x = 0,1(09) và y = 2,(21)

Trên đây là tổng hợp các kiến thức liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn và một số bài tập vận dụng có lời giải chi tiết, dễ hiểu. Qua bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về số thập phân vô hạn tuần hoàn và áp dụng các kiến thức ấy vào giải các bài tập liên quan một cách chính xác nhất.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang