Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 (chi tiết, dễ hiểu)

Phương trình bậc 2 là một nội dung quan trọng, được đề cập nhiều trong chương trình môn Toán lớp 9. Bài viết sau đây nhằm giới thiệu cho các em về công thức nghiệm của phương trình bậc 2 và việc ứng dụng công thức nghiệm vào việc giải một số phương trình bậc 2 và bài toán liên quan đến phương trình chứa tham số. Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Nhắc lại về phương trình bậc 2

+ Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0. Trong đó: a, b, c là các số thực đã biết và a 0.

Ví dụ: 3x² - 5x + 2 = 0 là một phương trình bậc 2 với các hệ số a = 3, b = - 5; c = 2.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Đối với phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (với a 0) và biệt thức = b² - 4ac.

+ Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x₁ = ; x₂ = .

+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = .

+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.

3. Ứng dụng của công thức nghiệm

3.1. Ứng dụng công thức nghiệm tìm nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải phương trình:

4y² - 7y + 3 = 0.

Giải

+ Phương trình bậc hai nêu trên có các hệ số: a = 4; b = - 7; c = 3.

+ Biệt thức = b² - 4ac = (- 7)² - 4.4.3 = 1.

+ Vì = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

y₁ = = 1 ; y₂ = .

3.2. Ứng dụng công thức nghiệm đối với phương trình chứa tham số

Cho phương trình ax² + bx + c = 0       (1)  với a, b, c là các số thực.

+ Phương trình (1) là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi a 0 và > 0.

+ Phương trình (1) là phương trình bậc hai vô nghiệm khi a 0 và < 0.

+ Phương trình (1) là phương trình bậc hai có nghiệm kép khi a 0 và = 0.

Ví dụ: Với điều kiện nào của tham số m thì phương trình mx² + 3x - m + 1 = 0      (*)  là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

Giải

+ Phương trình (*) là phương trình bậc hai khi m 0.

+ Ta có: = b² - 4ac = 3² - 4m(- m + 1) = 9 + 4m² - 4m = (4m² - 4m + 1) + 8 = (2m - 1)² + 8 > 0 với mọi m.

Vậy, phương trình (*) là phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi m 0.

4. Bài tập công thức nghiệm của phương trình bậc hai

4.1. Bài tập tự luận

Bài 1: Sử dụng công thức nghiệm tìm nghiệm của phương trình bậc hai: 2x² - 5x - 7 = 0.

Bài 2: Sử dụng công thức nghiệm tìm nghiệm của phương trình bậc hai: 5x² - 4x + 7 = 0.

Bài 3: Trường hợp nào về nghiệm không thể xảy ra đối với phương trình bậc hai: x² + 2x + 3m² + 1 = 0.

4.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4: Có mấy giá trị của tham số m để phương trình: 2mx² - mx + 3 = 0 trở thành phương trình bậc hai và có nghiệm kép

1. Không có giá trị nào của tham số m.
2. Có vô số giá trị của tham số m.
3. Có một giá trị của tham số m.
4. Có hai giá trị của tham số m.

Bài 5: Cho phương trình: 3x² - 5mx + 2m² = 0. Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có thể vô nghiệm hoặc có nghiệm kép phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
2. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép phụ thuộc vào giá trị của tham số m.
3. Phương trình đã cho luôn luôn vô nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
4. Phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình bậc 2 để giải và tìm nghiệm của phương trình bậc 2.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang