Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian

I. Phương trình tham số của đường thẳng

Định lí:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  đi qua điểm  và nhận  làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm   nằm trên  là có một số thực  sao cho

Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm  và có vectơ chỉ phương   là phương trình có dạng

trong đó, t là tham số.

Chú ý: Nếu  đều khác 0 thì phương trình  có dạng chính tắc như sau:

Ví dụ 1: Cho  ;  .

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng  qua   và nhận  làm vectơ chỉ phương.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

Giải:

a) Phương trình tham số của  là:  

b) Đường thẳng AB nhận  làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm .

Nên phương trình tham số của AB là:

Ví dụ 2: Chứng minh rằng đường thẳng   vuông góc với mặt phẳng .

Giải:

 có vectơ chỉ phương là  .

 có vectơ pháp tuyến là .

Ta có: .

Do đó,  và   cùng phương.

Vậy .

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau.

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

Gọi  và  lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng    và . Lấy  trên .

Ta có:

Ví dụ 1: Kiểm tra các cặp đường thẳng sau là song song hay trùng nhau

a)  và  

b)  và  

Giải:

a)  có vectơ chỉ phương  và lấy  

 có vectơ chỉ phương là .

Ta thấy  và .

Vì vậy .

b)  có vectơ chỉ phương  và lấy  

  có vectơ chỉ phương là .

Ta thấy  và .

Vì vậy .

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng   và   cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình

có đúng một nghiệm (t;t’).

Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t; t’), để tìm giao điểm M ta thay t vào phương trình tham số của d hoặc thay t’ vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng   và .

Giải:

Xét hệ phương trình .

Từ (1) và (2) suy ra . Thay vào phương trình (3) ta thấy thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình trên có một nghiệm là .    

Suy ra  cắt   tại điểm .

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng   cắt  chéo nhau khi và chỉ khi  và   không cùng phương và hệ phương trình

vô nghiệm.

Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  và .

Giải:

Ta có:  và   là hai vectơ không cùng phương vì không tồn tại số   nào để . Do đó,  và  hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét hệ phương trình: .

Từ (1) và (2) suy ra  . Thay vào phương trình (3) thì không thỏa mãn.

Do đó, hệ phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng  và   chéo nhau.

Nhận xét: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng   và đường thẳng .

Xét phương trình:  .

Khi đó, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp	Số điểm chung của  và	Kết luận	Hình vẽ
(1) vô nghiệm	0
(1) có nghiệm duy nhất	1	cắt
(1) có vô số nghiệm	Vô số

Ví dụ 4: Tìm số giao điểm của mặt phẳng  với đường thẳng   trong các trường hợp sau:

a)     

b)     

c)  

Giải:

a) Xét phương trình:  

   (vô lý).

Nên phương trình vô nghiệm.

Vậy .

b) Xét phương trình:     

  (luôn đúng).

Nên phương trình có vô số nghiệm.

Vậy .

c) Xét phương trình:     

.

Vậy  cắt  tại điểm .

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Hoàng Lân (Trường THCS – THPT Nguyễn Khuyến BD)