Biến cố xung khắc là gì? Định nghĩa và bài tập chọn lọc có lời giải

Biến cố xung khắc là một khái niệm được đề cập nhiều trong phần Tổ hợp - Xác suất trong chương trình môn Toán lớp 11. Vậy thế nào là biến cố xung khắc? Biến cố xung khắc có mối liên hệ với các khái niệm khác như thế nào? Để có thể trả lời cho các câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết của bài viết sau đây.

1. Hai biến cố xung khắc là gì ?

+ Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

+ Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu .

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh của lớp 11C để làm bài kiểm tra đánh giá năng lực môn Tiếng Anh. Gọi A là biến cố: "Bạn học sinh được chọn là học sinh nam" và B là biến cố: "Bạn học sinh được chọn là học sinh nữ". Lúc này, ta có A và B là hai biến cố xung khắc.

2. Mối liên hệ của biến cố xung khắc với quy tắc cộng xác suất

+ Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P(AB) = P(A) + P(B)

Trong đó, AB được gọi là hợp của hai biến cố A và B.

+ Nếu k biến cố A₁, A₂,..., A_k đôi một xung khắc thì:

P(A₁A₂...A_k) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(A_k)

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 10. Tính xác suất để số được chọn là một số nguyên tố hoặc một số chính phương.

Giải

Gọi A là biến cố: "Số được chọn là một số nguyên tố" và biến cố B: "Số được chọn là một số chính phương".

Không gian mẫu là:

= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Số phần tử của không gian mẫu là:

= 10

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A là:

= {2; 3; 5; 7}

Số kết quả thuận lợi cho A là:

= 4

Xác suất của biến cố A là:

P(A) =

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho B là:

= {0; 1; 4; 9}

Số kết quả thuận lợi cho B là:

= 4

Xác suất của biến cố B là:

P(B) =

Vì hai biến cố A và B là biến cố xung khắc nên xác suất để số được chọn là một số nguyên tố hoặc một số chính phương là:

P(AB) = P(A) + P(B) = + = .

3. Bài tập biến cố xung khắc

Bài 1: Chọn một số tự nhiên bất kì lớn hơn 10 và nhỏ hơn 20. Trong các cặp biến cố sau đây, đâu là cặp biến cố xung khắc?

1. Biến cố A: "Số được chọn là số chẵn" và biến cố B: "Số được chọn là bội của 9"
2. Biến cố A: "Số được chọn là số lẻ" và biến cố B: "Số được chọn chia hết cho 5"
3. Biến cố A: "Số được chọn là số lẻ" và biến cố B: "Số được chọn là số chính phương"
4. Biến cố A: "Số được chọn là số lẻ" và biến cố B: "Số được chọn là số nguyên tố"

Bài 2: Chọn một số tự nhiên bất kì lớn hơn 50 và nhỏ hơn 90. Xác suất để số được chọn là bội của 5 hoặc chia hết cho cả 3 và 9 là:

Bài 3: Bảng dưới đây cho chúng ta biết tháng sinh của các bạn học sinh trong tổ 1 lớp 11C.

Chọn một bạn học sinh bất kì của tổ 1 lớp 11C. Gọi A là biến cố: "Bạn học sinh được chọn có tháng sinh là một số chẵn" và biến cố B: "Bạn được chọn có tháng sinh là hợp số". Trong các phát biểu sau đây, phát biểu đúng là:

1. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho B có số phần tử nhiều hơn tập hợp các kết quả thuận lợi cho A
2. A và B là biến cố xung khắc
3. Số các kết quả thuận lợi cho B là 3
4. Cả A, B, C đều đúng

Bài 4: Biết A và B là hai biến cố xung khắc. Trong các phát biểu say đây, phát biểu sai là:

1. Số các kết quả thuận lợi cho A luôn luôn khác số các kết quả thuận lợi cho B
2. Các phần tử xuất hiện trong tập hợp các kết quả thuận lợi cho A sẽ không thể nào xuất hiện trong tập hợp các kết quả thuận lợi cho B
3. Khi biến cố A xảy ra thì biến cố B không xảy ra
4. Xác suất để A hoặc B xảy ra là: P(AB) = P(A) + P(B)

Bài 5: Biết A và B là hai biến cố xung khắc. Xác suất để biến cố A hoặc biến cố B xảy ra là . Xác suất để biến cố A xảy ra là . Khi đó, xác suất để biến cố B xảy ra là:

1. Chưa thể kết luận
2. P(B) =
3. P(B) =
4. P(B) =

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể hiểu thế nào là biến cố xung khắc. Đồng thời có thể vận dụng vào việc giải quyết các bài tập liên quan đến biến cố xung khắc.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang