Công thức đạo hàm căn thức và các dạng bài toán liên quan

Ở chương trình đại số của chúng ta thì đạo hàm là một ứng dụng rất lớn. Đạo hàm có thể áp dụng để làm các dạng toán như khảo sát hàm số, dùng đạo hàm để tìm nghiệm của phương trình. Vậy để có thể sử dụng thông thạo được đạo hàm vào giải toán thì chúng ta cần phải ưu tiên việc học thuộc và vận dụng các công thức cơ bản nhất của đạo hàm. Trong chủ đề này chúng ta sẽ tìm hiểu rõ hơn về đạo hàm và đặc biệt là đạo hàm căn thức.

1. Lý thuyết về đạo hàm và đạo hàm căn thức

Giới hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x₀, khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) được ký hiệu là y′(x₀) hoặc f ′(x₀):

f '(x₀) =

Hoặc

y '(x₀) =

• Số gia của đối số là Δx = x - x₀

• Số gia của hàm số là Δy = y - y₀

Nói một cách dễ hiểu

• Đạo hàm bằng delta y chia delta x với delta x là rất nhỏ

• Giá trị đạo hàm tại 1 điểm x₀ thể hiện:

∗ Chiều biến thiên của hàm số (đang tăng hay đang giảm, xem đạo hàm tại đây dương + hay âm - )

∗ Độ lớn của biến thiên này (ví dụ: đạo hàm bằng 1 ⇒ delta y tăng bằng delta x)

Trên đây là những kiến thức về đạo hàm và định nghĩa của đạo hàm căn thức xuất phát từ đạo hàm mà ra.

2. Công thức tính đạo hàm và đạo hàm của căn thức

2.1. Các quy tắc tính đạo hàm

Giả sử u = u(x); v = v(x); là các hàm số có đạo hàm, khi đó

• (u + v') = u ' + v '

• (u - v') = u ' - v '

• (ku)' = ku' , k ∈ R

• (uv)' = u' v + uv '

• =

2.2. Công thức tính đạo hàm cơ bản

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

• (C) ' = 0 (C là một số)

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

• (x^α)^' = ax ^α-1 (α ∈ R, x > 0)

• = (x > 0)

Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x)) 

• (u^α)^' = αu^a-1u^' (α ∈ R, u > 0)

• = (u > 0)

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

• = (x ≠ 0)

• = (x ≠ 0)

Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x)) 

• = (u ≠ 0)

• = ( u ≠ 0)

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

• (sinx) ' = cosx

• (cosx) ' = - sinsx

• (tanx) ' = = 1 + tan²x

• (cotx) ' =  = - (1 + cot²x) (x ≠ kπ, k ∈ Ζ)

Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x)) 

• (sinu) ' = cosu . u'

• (cosu) ' = - sinu . u'

• (tanu) ' = = (1 + tan²u).u'

• (cotu) ' =  = - (1 + cot²u).u' (u ≠ kπ, k ∈ Ζ)

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

• (a^x) ^' = a^x. ln a

• (e^x) ^' = e^x

• (log_ax)^' = , (x > 0)

• (lnx)^' = , (x > 0)

Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x)) 

• (a^u)^' = a^u. ln a . u'

• (e^u) ^' = e^u. u'

• (log_au) ^' = , (u > 0)

• (lnu) ^' = , (u > 0)

2.3. Công thức tính đạo hàm căn

Đối với những căn thức đơn giản, ta có công thức:

Công thức tổng quát đạo hàm căn bậc 2 của u, ta có công thức:

Đối với những bài toán chứa căn bậc 2 có u dưới mẫu, ta có công thức:

∗ Công thức tính chung cho đạo hàm căn thức

Tuy có nhiều công thức đạo hàm căn khác nhau, tuy nhiên công thức chung và tổng quát về đạo hàm căn thức chính là:

• Đối với đạo hàm căn x bậc n

        với n ∈ N^∗, n > 1     

• Đối với đạo hàm căn u bậc n

        với n ∈ N^∗, n > 1   

Đây là hai công thức bao quát nhất và hầu như có thể áp dụng cho các dạng bài toán tính căn khác nhau, tùy thuộc vào nhu cầu sử dụng. Những bạn học sinh cần ghi nhớ rõ công thức này.

∗ Công thức tính đạo hàm căn bậc 2

• Công thức tổng quát

∗ Công thức tính đạo hàm căn bậc 3

• Công thức tổng quát

∗ Công thức tính đạo hàm căn bậc 4

• Công thức tổng quát

∗ Công thức tính đạo hàm căn logarit

• Đối với đạo hàm logarit căn x

• Đối với đạo hàm logarit căn u

2.4. Một số công thức tính đạo hàm nhanh

•

•

•

2.5. Vi phân

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x. Ta gọi tích f '(x).Δx là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia Δx (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu df (x) = f '(x).Δx

Nếu chọn hàm số y = x thì dy = dx = 1.Δx = Δx. Vì vậy ta thường kí hiệu Δx = dx và dy = f '(x)dx

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: 

3. Bài tập vận dụng về đạo hàm căn thức

Bài 1: Nếu hàm số f(x) = thì f '(5) bằng

A. 3

B.

C.

D.

Bài 2: Hãy tính đạo hàm cơ bản sau y = x³ - 3x² + 2x + 1 

A. 3x² - 6x + 2

B. 3x² + 5x - 1

C. 6x + 5

D. x⁴ + 5x + 2

Bài 3: Cho hàm số . Tìm x để y ' = 0?

A.

B.

C.

D.

Bài 4: Cho hàm số f(x) = . Giá trị f '(8) bằng

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Cho hàm số . Tính đạo hàm

A.

B.

C.

D.

Bài 6: Hãy tính đạo hàm của hàm số chưa căn sau y =

A.

B.

C.

D.

Vậy qua các công thức và khái niệm ở trên cùng các dạng bài tập thì ta đã nắm bắt rõ thế nào về đạo hàm căn thức. Những dạng kiến thức này sẽ xuất hiện thường xuyên trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia với một lượng lớn câu hỏi và các biến đổi khác nhau. Nhưng theo ta thấy thì mọi thứ rất dễ dàng để giành được số điểm đó nếu học thuộc được các công thức và hiểu rõ lý thuyết cùng bản chất, bên cạnh đó phải thường xuyên luyện tập.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang