Table of Contents
Chúng ta đã được tìm hiểu rõ về hàm số logarit là có dạng y = loga x với a là cơ số. Các bạn đã được tìm hiểu rõ khái niệm phương trình từ nhiều lớp học trước và đã được tiếp xúc với nhiều dạng phương trình khác nhau. Cùng với kiến thức về phương trình và logarit ta đã được học, ta cùng tìm hiểu về phương trình logarit. Đây là một trong những kiến thức trọng điểm của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia nhiều năm gần đây. Do đó bài viết do VOH Giáo Dục trình bày sẽ mang lại sự bổ ích cho học sinh về phương trình logarit và những cách giải phương trình logarit.
1. Lý thuyết trọng tâm về phương trình logarit cơ bản
Phương trình logarit cơ bản với a > 0; a ≠ 1 có dạng:
loga x = b ⇔ x = ab (điều kiện: x > 0)
Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit, phải đặt điều kiện cho ẩn:
Với phương trình
Với phương trình
• Kết luận nghiệm, phải so sánh nghiệm với điều kiện.
• Ta cũng có thể bấm máy tính để giải phương trình logarit như giải phương trình mũ.
» Xem thêm:
2. Các cách giải phương trình logarit
2.1. Dạng 1: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hóa
∗ Phương pháp giải:
Phương trình loga f(x) = b ⇔
Phương trình loga f(x) = loga g(x) ⇔
Phương trình loga f(x) = g(x) ⇔
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Phương trình
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa
∗ Cách giải
Điều kiện:
Ta có
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Kết hợp điều kiện, ta được nghiệm duy nhất x = 2.
→ Chọn câu A.
Bài 2: Cho phương trình
A. 4
B.
C. 2
D. 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa
∗ Cách giải
Điều kiện:
Ta có:
⇔
⇔
⇔
⇔
Ta thấy hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện.
Vậy x1x2 =
=
→ Chọn câu C.
Bài 3: Cho phương trình log2 x.log4 x.log16 x.log32 x =
A. 0
B. 65
C. 8
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Giải phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa
∗ Cách giải
Điều kiện: x > 0
Ta có: log2 x.log4 x.log16 x.log32 x =
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
→ Chọn câu D.
2.2. Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
∗ Phương pháp giải:
Phương trình có dạng
Đặt loga x = t với x > 0
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tập nghiệm của phương trình
A. S = {2; 4}
B. S = {0; 2}
C. S = {1; 2}
D. S = {4; 6}
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Điều kiện:
Ta có:
⇔
Đặt t = log2 (x - 2), khi đó phương trình trở thành
⇔
⇒
⇔
⇔
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn với điều kiện của phương trình.
→ Chọn câu D.
Bài 2: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình 2log3x - 4log2x = 2logx - 4 là:
A. x = 30
B. x = 0
C. x = 1
D. x = 100
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Phương trình 2log3x - 4log2x = 2logx - 4 có điều kiện x > 0.
Đặt log x = t. Khi đó phương trình trở thành
2t3 - 4t2 = 2t - 4
⇔ 2t2(t - 2) - 2(t - 2) = 0
⇔ (2t2 - 2) (t - 2) = 0
⇔
⇔
⇒
⇔
→ Chọn câu D.
Bài 3: Số nghiệm của phương trình
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Điều kiện
⇔
Ta có
⇔
⇔
Đặt t = log2 (x - 1), khi đó phương trình trở thành:
⇔
⇔
⇔
⇔
⇒
⇒
⇔
→ Chọn câu A.
2.3. Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng các phương pháp khác
∗ Phương pháp giải:
Một số phương pháp khác để giải phương trình logarit là:
• Đưa về dạng phương trình tích.
• Phương pháp hàm số (thường sử dụng khi gặp phương trình logarit phức tạp).
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Gọi nghiệm của phương trình log5 x.log3 (2x + 5) = 2log5 x là x1 < x2. Khi đó, giá trị của 4x1 + 10x2 - 8 là:
A. -16
B. 17
C. 16
D. 15
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng phương pháp đưa về dạng phương trình tích.
∗ Cách giải
Điều kiện xác định:
Ta có
log5 x.log3(2x + 5) = 2log5 x
⇔ log5 x.log3(2x + 5) - 2log5 x = 0
⇔ log5 x [log3 (2x + 5) - 2] = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy 4x1 + 10x2 - 8 = 4.1 + 10.2 - 8 = 16
→ Chọn câu C.
Bài 2: Phương trình
A. Lớn hơn 0
B. Nhỏ hơn 1
C. Là số nguyên tố
D. Là số âm
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng phương pháp hàm số
∗ Cách giải
Điều kiện:
Xét hàm số
Ta có
Ta thấy
Nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên khoảng
Mà ta có f(1) = 6
Nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu
→ Chọn câu A.
2.4. Dạng 4: Giải phương trình logarit chứa tham số
∗ Phương pháp giải:
Tìm điều kiện của m để phương trình logarit có nghiệm hay không trên tập K:
• Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng m = f(x)
• Khảo sát sự biến thiên hàm số f(x) (hoặc g(t) nếu đặt ẩn phụ) thông qua bảng biến thiên của hàm số f(x) (hoặc g(t))
• Xác định số lần cắt của đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(x), số lần cắt là số nghiệm của phương trình
• Kết luận các giá trị của m dựa vào điểm cắt của hàm số f(x) có nghiệm hoặc không có nghiệm trên K.
∗ Lưu ý
- Khi đề bài hỏi giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của m trên K , ta xác định dựa vào vị trí cao nhất của đồ thị hàm số với
- Khi đề bài hỏi số nghiệm của phương trình, ta chỉ cần đếm số lần cắt của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f(x),
- Khi đặt ẩn phụ phải đặt lại điều kiện của ẩn để tránh sai sót.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm m để phương trình
A. 0 < m ≤ 4
B. m > 4
C. m ≥ 4
D. m > 0
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Phương trình
Đặt t = log5 x, khi đó phương trình (1) trở thành
t2 + 4t + m = 0 (2)
Vì x ∈ (0;1)
⇒ log5 x < 0 ⇒ t < 0
Phương trình (1) có hai nghiệm x ∈ (0;1)
Khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm âm khi:
⇔
⇔
⇔ 0 < m ≤ 4
→ Chọn câu A.
Bài 2: Cho phương trình
A. m >
B. m < 1
C. m <
D. m ≥
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Điều kiện: x > 0
Ta có:
⇔
⇔
Đặt t = log2 x, khi đó phương trình có dạng
t2 - 3t - 1 = m
⇔ t2 -
⇔
Nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
m +
⇔ m ≥
→ Chọn câu D.
Toàn bộ bài viết đã cho ta thấy được cái nhìn khái quát về phương trình logarit và những cách giải bài tập liên quan. Qua nội dung của bài viết sẽ giúp các bạn có thêm kiến thức để hỗ trợ cho các bạn ở những kỳ thi quan trọng.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang