Công thức đổi cơ số logarit và bài tập có lời giải chi tiết

Log hay còn gọi là logarit được biết tới với đa dạng công thức cùng các tính chất thú vị. Logarit khi chúng ta tìm hiểu sâu hơn sẽ nhận ra đây là hàm ngược của hàm số mũ. Kết hợp tính chất logarit với các tính chất của lũy thừa và mũ ta sẽ được các phép biến đổi rút gọn các đa thức. Đó cũng chính là nội dung ở chủ đề này, công thức đổi cơ số logarit chính là một trong số các công thức được xem là khó nhất khi ngoài việc sử dụng công thức chúng ta cần tìm ra mối quan hệ giữa các cơ số để biến đổi cho đúng. Cùng VOH Giáo Dục theo dõi bài viết sau đây.

1. Tóm tắt lý thuyết về logarit và các công thức cơ bản, công thức đổi cơ số logarit

- Trong toán học, logarit (tiếng Anh: logarithm) của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. Vì vậy, nếu x = b^y thì y là logarit cơ số b của x. Ký hiệu là log_b x.

- Logarit do John Napier giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1614 như là một cách để đơn giản hóa việc tính toán. Thời gian sau, nó đã cấp tốc được đa số các nhà khoa học áp dụng để hỗ trợ trong tính toán, đặc biệt là những phép tính yêu cầu độ chuẩn xác cao, thông qua thước loga và bảng logarit.

** Các công thức logarit cơ bản:

Với a, b > 0, a ≠ 1, α ∈ R 

• log_a 1 = 0

• log_a a = 1

• 

• 

Với a, b, c, b₁, b₂ > 0, a ≠ 1, α ∈ R

• 

• 

• 

•             

• 

•        

•              

•              

- Nếu a > 1 thì 

- Nếu 0 < a < 1 thì 

Với b > 0; 0 < a, c ≠ 1, ta có các công thức đổi cơ số logarit như sau:

• log_a b =

• log_a b = (b ≠ 1)

• = (α ≠ 0)

Xem thêm:

• Logarit là gì? Định nghĩa, tính chất & các công thức logarit
• Tổng hợp kiến thức về Logarit và cách giải toán Logarit
• Quy tắc tính logarit đầy đủ & bài tập ứng dụng cực hay

2. Công thức đổi cơ số logarit

Thường áp dụng các phép tính logarit để biến đổi, để hóa đồng cơ số hoặc để khử biểu thức logarit chứa ẩn số ta thường lấy mũ các vế.

Ta áp dụng các công thức sau đây

Với a > 0; a ≠ 1

• log_a M = log_a N ⇔ M = N > 0

 ⇔

• log_a f(x) = log_a g(x)

• log_a N = M ⇔ N = a^M hoặc log_a f(x) = b ⇔ f(x) = a^b

Ngoài ra, cần chú ý đến một số tính chất

• log_a b có nghĩa ⇔

• log_a b =  ( công thức đổi cơ số )

•  (b > 0; a > 0; a ≠ 1)

•  (a > 0; a ≠ 1; k ∈ Z)

» Xem thêm: Những cách giải phương trình logarit chuẩn xác, dễ hiểu

3. Bài tập vận dụng công thức đổi cơ số logarit

Bài 1: Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn log₃ a = log₉ (ab) .Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 2a = 8b²

B. 2a³ = 9b

C. a = b

D. 3a² = 9b

Bài 2: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log₃ (2x + 2y) = log₃ 2xy. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. x + y = xy

B. x = y + 2

C. x < y

D. x = y³

Bài 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ln + ln + lnc - lna = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ab = 10

B. a = 2b

C. b = -c

D. b = c

Bài 4: Cho a = log₂ 8 và b = log₃ 27 . Tính 10.a.b

A. 80

B. 120

C. 100

D. 15

Bài 5: Cho log₄ m = x và X = log_m (16m) với m > 0, m ≠ 1. Tìm mối liên hệ giữa X và x.

A. (3 + x)x

B. (3 - x)x

C.

D.

Bài 6: Trong các số sau đây, số nào là số lớn nhất ?

A. log_0,25

B. log 27

C. log 343

D. log 59049

Bài 7: Cho hai số thực dương a và b với a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Bài 8: Với x > 0, ta có bằng

A.

B.

C.

D.

Tổng kết: Trên đây VOH Giáo Dục đã giới thiệu các bạn học sinh về chuyên đề công thức đổi cơ số logarit ở chương trình Toán 12. Trong đề thi THPT Quốc gia, thông thường chủ đề này có một câu ở mức nhận biết. Vậy qua những công thức và kiến thức ở trên cùng với các dạng bài tập vận dụng, ta có thể thấy công thức đổi cơ số logarit sẽ rất phức tạp nếu ta không nắm rõ bản chất. Vì vậy để có thể nắm chặt được điểm cao của phần này, ta cần phải học thuộc công thức cùng với luyện tập thường xuyên.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang