Quy tắc tính logarit đầy đủ & bài tập ứng dụng cực hay

Trong kiến thức phổ thông Toán lớp 12 về logarit, ta thường gặp đa dạng bài tập cùng với lý thuyết. Điển hình như khái niệm, công thức, tính chất và đặc biệt là quy tắc logarit. Ở bài học này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu sâu hơn về quy tắc logarit là như thế nào.

1. Tóm tắt lý thuyết và khái niệm của logarit, quy tắc logarit

- Phép cộng, nhân và lũy thừa là ba phép cơ bản nhất trong toán học. Phép cộng ngược lại là phép trừ, phép nhân ngược lại là phép chia. Và cũng vì vậy, tương tự logarit ngược lại với lũy thừa. Lũy thừa: khi một số b, gọi là cơ số, được nâng lên lũy thừa y, gọi là số mũ, để cho giá trị x, ký hiệu là:

       • b^y = x

Ví dụ: 4 nâng lên lũy thừa 5 bằng 1024, vì 1024 là tích của bốn thừa số 5 nhân với nhau: 4⁵ = 4 x 4 x 4 × 4 × 4 = 1024. 

- Cơ sở ra đời trong lịch sử là logarit có công thức.

       •

- Trước khi ra đời máy tính, cho phép đưa các phép tính nhân và chia thành phép cộng, phép trừ và việc tra cứu bảng số logarit.

Xem thêm:

• Logarit là gì? Định nghĩa, tính chất & các công thức logarit
  
• Tổng hợp kiến thức về Logarit và cách giải toán Logarit
  

2. Các quy tắc logarit

2.1. Quy tắc tính logarit của một tích

Cho 3 số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1

log_a (b₁b₂) = log_a b₁ + log_a b₂

• Logarit của một tích = tổng các logarit

Vào thế kỷ XVII, logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit. Ta sẽ đưa logarit về cơ số a = 10 sử dụng trong bảng logarit là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Để thuận tiên trong toán học người ta dùng logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718). Trong khoa học máy tính người ta dùng logarit có cơ số 2 được gọi là logarit nhị phân.

Dùng thang logarit để có thể thu nhỏ phạm vi các đại lượng.

∗ Ví dụ minh họa: Tính

Lời giải

Ta có:

=

=

= 0

2.2. Quy tắc tính logarit của một thương

Cho 3 số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1 ta có:

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit

Đặc biệt:

∗ Ví dụ minh họa: Cho x = 3¹⁰, y = 3⁸. Tính log₃ x - log₃ y, và so sánh các kết quả

Lời giải

Ta có

• log₃ x - log₃ y = log₃ 3¹⁰ - log₃ 3⁸ = 10 - 8 = 2

• log₃ = log₃ = log₃ 3² = 2

• log₃ x - log₃ y = log₃

2.3. Quy tắc tính logarit của một luỹ thừa

Cho 2 số dương a, b với a ≠ 1 ta có:

log_a b^α = αlog_a b

Logarit của một luỹ thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

Đặc biệt:

Ví dụ minh họa: Tính

Lời giải

Ta có:

       =

       =

       =

3. Các công thức cùng công thức quy tắc tính logarit

3.1. Các công thức logarit cơ bản

Với a, b > 0, a ≠ 1, α ∈ R 

• log_a 1 = 0

• log_a a = 1

• 

• 

Với a, b, c, b₁, b₂ > 0, a ≠ 1, α ∈ R

• 

• 

• 

•             

• 

•        

•              

•              

- Nếu a > 1 thì 

- Nếu 0 < a < 1 thì 

Với b > 0; 0 < a, c ≠ 1, ta có các công thức đổi cơ số logarit như sau:

• log_a b =

• log_a b = (b ≠ 1)

• = (α ≠ 0)

3.2. Công thức mũ logarit

•  (n thừa số a)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

» Xem thêm: Những cách giải phương trình logarit chuẩn xác, dễ hiểu

4. Bài tập vận dụng quy tắc logarit

Bài 1: Cho log_a b² = 6 và log_a = 9. Giá trị của biểu thức bằng:

A.

B. -34

C. -70

D. 25

Bài 2: Cho và . Đáp án nào sau đây thỏa mãn ?

A. b > 1

B. a < 1; 0 > b > 1

C. a > 1

D. 0 < a < 1; 0 < b < 1

Bài 3: Cho log9 = x, log2 = y. Khi đó log18 theo x và y bằng:

A. x + y - 2

B. y + x + 1

C. x + y

D. 4x - y + 1

Bài 4: Cho 0 < a ≠ 1. Rút gọn biểu thức .

A. Q =

B. Q =

C. Q =

D. Q =

Bài 5: Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. ln x > 1 ⇔ x > e

B. log₉ x³ > log₃ y ⇔ x > y > 0

C. log x < log y ⇔ x > y > 0

D. log x < 0 ⇔ 0 < x < 1

Kết luận: Vậy qua chủ đề này, VOH Giáo Dục đã trình bày quy tắc logarit là lý thuyết khá dễ dàng nếu chúng ta hiểu được bản chất và nắm rõ công thức, bên cạnh đó phải rèn luyện nhiều dạng bài để làm quen với các mức độ từ dễ đến khó.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang