Hàm số mũ là gì? Định nghĩa, công thức & đạo hàm hàm số mũ

Trong chương trình toán bậc THCS, các dạng toán lũy thừa không còn là dạng toán xa lạ đối với chúng ta. Việc lũy thừa bậc n một số nguyên được xem như phép toán nhân n số nguyên đó với nhau, như vậy rõ ràng chương trình toán xây dựng cho chúng ta về các khái niệm cơ bản để hình thành tư duy logic. Ở bậc THPT, chúng ta sẽ được nhắc lại về khái niệm hàm số mũ thông qua chủ đề này với các nội dung tìm hiểu về khái niệm và tính chất của hàm số mũ từ đó suy ra phương pháp để xác định hàm số mũ đó là hàm số tăng hay giảm trên trường số thực thông qua việc khảo sát hàm từ công thức đạo hàm được nhắc đến. Song song đó việc vận dụng các lý thuyết trên vào giải bài tập toán cũng là một trong các thứ cần lưu ý.

1. Hàm số mũ là gì?

Hàm số mũ có dạng y = a^x, a ≠ 1

• Ta có y = a^x > 0, ∀x ∈ R.

• Tập xác định: D = R.

• Đạo hàm: y ' = (a^x)^' = a^x . ln a

• Khảo sát hàm số với a > 0, a ≠ 1:

∗ Hàm số y = a^x (a > 1)

Luôn đồng biến

Tiệm cận ngang là Ox

Luôn đi qua điểm (0;1); (1;a)

Đồ thị: Nằm phía trên trục Ox

∗ Hàm số y = a^x (0 < a < 1)

Luôn nghịch biến

Tiệm cận ngang là Ox

Luôn đi qua điểm (0;1); (1;a)

Đồ thị: Nằm phía trên trục Ox

Thông dụng nhất: Cơ số hàm mũ được sử dụng là số siêu việt e, xấp xỉ bằng 2,71828.

2. Tính chất hàm số mũ

• Tập xác định: R 

• Đạo hàm: ∀x ∈ R 

(a^x)^' = a^x lna. Từ đó suy ra: (a^u)^' = u' a^u ln a 

• Đặc biệt: (e^x)^' = e^x 

(e^u)^' = u' e^u 

• Chiều biến thiên

Nếu a > 1 thì hàm số luôn đồng biến

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến

• Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang.

• Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (y = ax > 0, ∀x), luôn cắt trục tung tại điểm (0; 1) và đi qua điểm (1; a).

3. Các công thức hàm số mũ, quy tắc và đạo hàm của hàm số mũ

• Một hàm mũ được xác định bởi công thức f(x) = a^x , trong đó a được gọi là cơ số và a là hằng số trong hàm số mũ. Sự thay đổi của giá trị hàm số phụ thuộc vào biến số, sự tăng trưởng của hàm số từ đó cũng phụ thuộc vào khoảng của x.

• Hàm mũ có dạng

f(x) = a^x

• Trường hợp a > 0 và a khác 1.

x thuộc R

• Hàm không xác định x thuộc (-1;1) nếu trường hợp cơ số là âm

x được gọi là biến số

a là cơ số của hàm số mũ

• Đường cong mô tả sự biến thiên của hàm số mũ phụ thuộc vào các yếu tố của hàm số mũ đó.

3.1. Công thức đạo hàm

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

3.2. Quy tắc hàm số mũ

Một số quy tắc cấp số nhân quan trọng được đưa ra dưới đây:

Nếu a > 0 và b > 0, điều sau đúng với tất cả các số thực x và y

•

•

•

•

•

•

•

4. Bài tập hàm số mũ

Bài 1: Hàm số y = (x² + 8x - 9) xác định khi

A. ∀x ∈ R

B. Không tồn tại x

C. x > 1; x < -9

D. -8 < x < 1

Bài 2: Tập xác định của hàm số y = 3^2x + x² - là:

A. (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

B. [-1; 1]

C. (1; +∞)

D. (0; +∞)

Bài 3: Với giá trị nào của x thì hàm số y = f(x) = ln (9 - 3x) xác định ?

A. x ∈ (-∞; 3)

B. x ∈ (3; +∞)

C. x ∈ R \ {3}

D. x ∈ R \ {-3; 3}

Bài 4: Cho hai số thực dương a và b. Rút gọn biểu thức M =

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Đạo hàm của hàm số y = 3x² - + 3³

A. y ' = 6x -

B. y ' = 4x -

C. y ' = -2x + 3

D. y ' = 3x + 3

Bài 6: Tập nghiệm của phương trình = là:

A. {-2; }

B. {0; 3}

C. {-2; 2}

D. {2; 0}

Trong đề thi THPTQG, chủ đề về hàm số mũ và các dạng toán liên quan thường xuyên xuất hiện ở các câu hỏi trải đều về mức độ từ nhận biết đến vận dụng. Ở các bài toán trong dạng vận dụng, các câu hỏi về hàm số mũ được gán vào các dạng toán thực tế, ngoài việc thông hiểu về hàm số chúng ta còn cần có kĩ năng phân tích giả thuyết bài toán thực tế. Như vậy, dễ dàng nhận ra toán gắn liền với đời sống thực tế qua các bài toán lãi suất ngân hàng. Tuy nhiên trong chủ đề này chúng ta chỉ cần làm quen với các dạng toán cơ bản trước để có kiến thức nền đủ vững, từ đó mới phát triển thành các dạng toán mức độ khó. Để làm tốt và có điểm tuyệt đối ở phần này, ta phải học thuộc công thức và luyện các bài tập vận dụng với cường độ thường xuyên với lượng kiến thức phong phú.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang