Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Khái niệm, tính chất & các dạng bài tập trọng tâm

Ở bậc THPT, khái niệm về lũy thừa chắc chắn không còn xa lạ bởi vì đây là tri thức đã được dạy ở bậc THCS. Việc tính toán các giá trị lũy thừa số mũ nguyên với cơ số là hằng số chúng ta có thể thực hiện bằng máy tính Casio. Tuy nhiên ở bậc THPT, cơ số của lũy thừa được xem là hàm số. Việc rút gọn cũng như biến đổi và tính chất của hàm số là điều mà chủ đề này sẽ mô tả một cách tường minh và dễ hiểu nhất thông qua các ví dụ minh họa. Về bản chất là không có gì thay đổi quá nhiều về mặt ý nghĩa lũy thừa, song xét về tính chất cũng như sự biến thiên thì hàm số lũy thừa với số mũ hữu tỉ được xem là trường hợp phức tạp nhất trong các dạng về hàm số lũy thừa.

1. Hàm số lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Hàm số có dạng , trong đó a,b ∈ Z, b ≠ 0

• Tập xác định: f(x) có nghĩa và f(x) > 0

• Đạo hàm: y ’ =

Nếu f(x) = x ta có

Hàm số lũy thừa có dạng , a,b ∈ Z, b ≠ 0

• Tập xác định: D = (0; +∞)

• Đạo hàm: y ’ =

• Khảo sát hàm số trên tập (0; +∞):

Hàm số ( > 0), b ≠ 0

• Luôn đồng biến.

• Không có tiệm cận.

• Luôn đi qua điểm (1; 1).

• Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ nhất với α =

Hàm số ( < 0)

• Luôn nghịch biến.

• Tiệm cận ngang là Ox.

• Tiệm cận đứng là Oy.

• Luôn đi qua điểm (1; 1).

• Đồ thị: Luôn nằm trong góc phần tư thứ nhất với α =

2. Tính chất hàm số lũy thừa có liên quan lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Với a, b khác 0 và m, n là các số nguyên.

• a^m . aⁿ = a^{m + n}

• a^m : aⁿ = a^{m - n}

• (a^m)ⁿ = a^mn

• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

• =

• Với a > 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m > n

• Với 0 < a < 1 thì a^m > aⁿ ⇔ m < n

Ngoài ra với a, b không âm và m, n nguyên dương ta có:

•

•

•

•

•

3. Các dạng bài tập lũy thừa với số mũ hữu tỉ lớp 12

3.1. Dạng tìm điều kiện có nghĩa của hàm số lũy thừa với số mũ hữu tỉ

∗ Phương pháp giải:

Hàm số có dạng , trong đó a, b ∈ Z  

Tập xác định: f(x) có nghĩa và f(x) > 0

∗ Bài tập minh họa

Bài 1: Hàm số xác định khi

A. ∀x ∈ R

B. Không tồn tại x

C. x > 1; x < -3

D. -3 < x < 1

3.2. Dạng rút gọn hàm số lũy thừa với số mũ hữu tỉ

∗ Phương pháp:

Dựa vào lý thuyết các tính chất đã nêu ở phần 3.

∗ Bài tập minh họa

Bài 2: Giá trị của biểu thức bằng?

A. 12

B. 16

C. 18

D. 24

Bài 3: Cho . Khi đó P(1,3) bằng:

A. 0,13

B. 1,3

C. 0,013

D. 13

Bài 4: Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức được kết quả là:

A. ab²

B. a²b

C. a²b²

D. ab

Bài 5: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ của biểu thức với a > 0

A.

B.

C.

D.

Thông qua các đề minh họa cũng như đề chính thức Toán kỳ thi THPTQG, nội dung lũy thừa với số mũ hữu tỉ này thường xuyên xuất hiện và mức độ dao động từ nhận biết đến vận dụng. Tuy nhiên các câu xuất hiện trong 35 câu đầu tức ở mức 7đ là chủ yếu. Kỹ năng giải toán trắc nghiệm bằng Casio là một trong các phương pháp thường dùng đối với dạng toán rút gọn biểu thức.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang