Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 12»Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôga...»Các cách giải phương trình mũ cực hay, d...

Các cách giải phương trình mũ cực hay, dễ hiểu

(VOH Giáo Dục) - Các em học sinh cần phải thành thạo cách giải phương trình mũ. Đây là một nội dung khó, vì vậy chúng ta cần phải hiểu rõ khái niệm và nắm chắc các giải phương trình mũ từ đó biết vận dụng vào bài tập một cách hiệu quả nhất.

Xem thêm

Chúng ta đã được làm quen với kiến thức hàm số mũ có dạng y = ax, a ≠ 1. Tiếp đến ta sẽ làm quen với khái niệm mới về phương trình mũ cơ bản và cách giải tận tình những bài toán có chứa phương trình mũ trong chương trình đại số của lớp 12. Đây là một trong những kiến thức trọng điểm trải dài từ nhận biết đến vận dụng trong kì thi THPT Quốc gia trong nhiều năm gần đây. Bài viết này sẽ giúp các bạn giải quyết được vấn đề liên quan đến phương trình mũ.


1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng ax =b, (a > 0, a ≠ 1)

• Nếu b ≤ 0, phương trình vô nghiệm

• Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = loga b

∗ Cách giải phương trình mũ cơ bản bằng Casio

f(x) = 0

Nhập f (X) , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện thì x = a là nghiệm.

Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện thì x = b là nghiệm.

Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện , thì x = c là nghiệm của phương trình.

Cứ làm như vậy cho đến khi máy tính hiện ; n ≠ 0 thì x = m không phải là nghiệm của phương trình và ta dừng lại.

Ví dụ:

Giải phương trình mũ

Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện , tức là x = 0 là nghiệm của phương trình.

Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện , tức là x = -1 là nghiệm của phương trình.

Nhập , SHIFT SOLVE = , máy tính hiện , nên dừng lại.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 và x = -1

» Xem thêm: Cách giải bất phương trình mũ đầy đủ, chi tiết

2. Giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và logarit hóa

∗ Phương pháp giải:

Phương trình .⇔

Phương trình ⇔ a = 1 hoặc .

Phương trình

• Nếu a.b = 1 ⇒ b = = a-1

Hoặc

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho phương trình , tổng các nghiệm thực của phương trình là:

A.

B. 3

C. 6

D.

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có

⇒ x1 + x2 = 3

→ Chọn câu B.

Bài 2: Số nghiệm của phương trình mũ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có

hoặc

⇔ x = 1 hoặc

⇔ x = 1 hoặc

→ Chọn câu C.

Bài 3: Cho phương trình . Vậy phương trình có tập nghiệm bằng mấy?

A. S = {0}

B. S = {1}

C. S = {2}

D. S = {3}

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có

Hoặc

⇔ x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}

→ Chọn câu B.

3. Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

∗ Phương pháp giải:

Phương trình có dạng A.a2x + B.ax + C = 0. Đặt ax = t, (t > 0).

Phương trình có dạng A.a2x + B.ax.bx + C.b2x = 0

Đặt                                      

Phương trình có dạng A.ax + B.bx + C = 0 với a.b = 1.

Ta có a.b = 1 ⇔ b = ⇒ bx =

Khi đó phương trình có dạng A.ax + + C = 0

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Phương trình có hai nghiệm x1 < x2. Tính A = x12 - 6x1x2.

A. 0

B. 6log6

C. log6

D.

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có

Đặt 6x = t, t > 0. Khi đó phương trình trở thành 


Vì x1 < xnên x1 = -log6 5; x2 = 0

Vậy A = x12 - 6x1x

= (-log6 5)2 - 6.(-log6 5).0 =

 → Chọn câu D. 

Bài 2: Phương trình có nghiệm thỏa mãn

A. Lớn hơn 1

B. Nhỏ hơn 1

C. Lớn hơn 2

D. Nhỏ hơn 0

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có

           (1)

Đặt t =                         

Khi đó phương trình (1) trở thành

      t2 + t - 6 = 0

→ Chọn câu B. 

4. Giải phương trình mũ bằng phương pháp khác

Bài 1: Các nghiệm của phương trình 24.3x + 6.15x - 2.5x+1 = 40 là:

A. log3 5 - 1

B. log3 5

C. log3 5 + 10

D. log3 3 - 10

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng phương pháp đưa về dạng phương trình tích.

∗ Cách giải

Ta có 24.3x + 6.15x - 2.5x+1 = 40

⇔ 8.3.3x + 2.3.3x.5x - 2.5.5x - 40 = 0

⇔ (2.5x + 8) (3.3x - 5) = 0

= log3 5 - log3 3

= log3 5 - 1

→ Chọn câu A. 

Bài 2: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng phương pháp hàm số.

∗ Cách giải

Phương trình có điều kiện xác định

x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

Xét hàm số f(x) =  xác định trên nửa khoảng [2; +∞)      

Ta có 


Với x ≥ 2 ⇒ f '(x) > 0

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng [2; +∞) 

Mà ta thấy f(6) = 141 

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 6

→ Chọn câu C. 

5. Giải phương trình mũ chứa tham số m

∗ Phương pháp giải:

Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ là:

       • Đưa về dạng phương trình tích.

       • Phương pháp hàm số (thường sử dụng khi gặp phương trình mũ phức tạp)

Bài tập vận dụng:

Cho phương trình 25x - 2.15x + (m - 2)9x = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

A. m ∈ [2; 3]

B. m ∈ [2; 3)

C. m ∈ (2; 3)

D. m ∈ (2; 3]

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Cách 1: 

Phương trình

Đặt

Khi đó ta có phương trình      (1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương.

Ta có

Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx570VN PLUS

Chọn m = 2. Thay vào phương trình, ta thấy phương trình không có hai nghiệm phân biệt dương. Nên loại đáp án A và B.

Chọn m = 3. Thay vào phương trình, ta thấy phương trình không có hai nghiệm phân biệt dương.

→ Chọn câu C.

VOH Giáo Dục đã tổng hợp những kiến thức căn bản và cách giải thuận tiện của các phương trình mũ cơ bản. Qua đó giúp các em học sinh có kiến thức để rèn luyện và áp dụng để giải các bài tập toán liên quan đến phương trình mũ cơ bản. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học tốt hơn và chuẩn bị kĩ cho kì thi trung học phổ thông quốc gia.


Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Tác giả: Huỳnh Nguyễn Minh Phi

Những cách giải phương trình logarit chuẩn xác, dễ hiểu
Cách giải bất phương trình mũ đầy đủ, chi tiết