Hàm số logarit: Khái niệm, công thức tính & đầy đủ dạng bài tập trọng tâm

Khái niệm hàm số logarit rất mới mẻ đối với các bạn lớp 12 khi lần đầu được tiếp cận. Ta có thể hiểu logarit là hàm ngược lại của hàm số mũ a^m = n. Khi đó m được gọi là logarit của một số n cơ số a là log_an = m. Ta có thể lấy ví dụ như 2³ = 8 thì khi viết về hàm logarit ta có thể viết như sau: log₂8 = 3. Kiến thức về hàm số logarit cho ta thấy được tầm quan trọng trong chương trình toán học 12 và cũng như trong đề thi THPT Quốc gia môn toán trong nhiều năm gần đây. Vậy để có thể hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ cùng khái quát về hàm số logarit và những dạng bài tập liên quan.

1. Lý thuyết trọng tâm của hàm số logarit

Hàm số logarit có dạng y = log_a x; a > 0, a ≠ 1 

• Tập xác định: D = (0; +∞)

• Tập giá trị: T = R

• Đạo hàm:

• Khảo sát hàm số

∗ Hàm số y = log_a x (a > 1)

Luôn đồng biến

Tiệm cận đứng là Oy

Luôn đi qua điểm (1;0); (a;1)

Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy

∗ Hàm số y = log_a x (0 < a < 1)

Luôn nghịch biến

Tiệm cận đứng là Oy

Luôn đi qua điểm (1;0); (a;1)

Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy

Ví dụ: Các hàm số logarit như y = log₃ x, y = x , y = ln x, y = logx sẽ là những hàm số logarit với các cơ số lần lượt là 3, , e và 10

2. Công thức tính đạo hàm của hàm số logarit

• (ln x)' = , (x > 0)

• (ln u)' = , (u > 0)

•  ( x ≠ 0)      

• ( u ≠ 0)

• (log_a x)' = , (x > 0)

• (log_a u)' = , (u > 0)

• (x ≠ 0)

• (u ≠ 0)

Ví dụ: Đạo hàm của hàm số logarit y = ln(x + 1)

Áp dụng công thức (ln u)' = , (u > 0)

y ' = (ln(x + 1))' = =

» Xem thêm: Những cách giải phương trình logarit chuẩn xác, dễ hiểu

3. Các dạng bài tập liên quan đến hàm số logarit

3.1. Dạng 1: Bài tập tìm tập xác định của hàm số logarit

Bài 1: Với giá trị nào của x thì hàm số y = f(x) = ln(4 - x²) xác định?

A. x ∈ (-2; 2)

B. x ∈ [-2; 2]

C. x ∈ R \ [-2; 2]

D. x ∈ R \ (-2; 2)

Bài 2: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1 và log_ab > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Bài 3: Cho hàm số y = log_a x với 0 < a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Nếu 0 < a < 1 thì hàm số đồng biến trên (0; +∞)

B. Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên (0; +∞) 

C. Tập xác định của hàm số là R

D. Đạo hàm của hàm số là y ' = xlna

Bài 4: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (0; +∞) ?

A. y =

B. y = log₃ x

C. y =

D. y =

Bài 5: Cho hàm số y = . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = e

B. Tập xác định hàm số là [1; +∞] 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; e) 

D. Hàm số đồng biến trên (e; +∞)

3.2. Dạng 2: Bài tập về đạo hàm của hàm số logarit

∗ Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đạo hàm để tính toán.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = log₄ (x² - 4x + 6)

Bài 2: Cho hàm số f(x) = log₃ x + x và biểu thức P = f '(x) + 4x. f(x) + 3.f(2) - .f '(1) - 1. Khi đó biểu thức P là: 

A.

B.

C.

D.

3.3. Dạng 3: Bài tập của đồ thị hàm số logarit

Bài 1: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y = log_a x, y = log_b x, y = log_c x (0 < a,b,c ≠ 1) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. b > c > a

B. a > b > c

C. b > a > c

D. a > c > b

Bài 2: Cho ba số thực a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y = log_a x, y = log_b x, y = log_c x được cho như hình vẽ dưới

A. b < c < a

B. c < a < b

C. a < b < c

D. c < b < a

Đây là những kiến thức liên quan đến chuyên đề hàm số logarit cùng với những dạng bài tập thường gặp trong dạng toán hàm số logarit kèm lời giải chi tiết. VOH Giáo Dục hy vọng bài viết sẽ hỗ trợ các bạn được kiến thức trong việc học tập bổ ích hơn.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang