Picture of the author
Picture of the author
SGK Toán 12»Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôga...»Hàm số logarit: Khái niệm, công thức tín...

Hàm số logarit: Khái niệm, công thức tính & đầy đủ dạng bài tập trọng tâm

(VOH Giáo Dục) - Hàm số logarit là gì? Có định nghĩa như thế nào thì ở chuyên đề hàm số logarit này chúng ta cùng tìm hiểu về lý thuyết và từ đó biết cách vận dụng vào các bài toán từ cơ bản đến nâng cao.

Xem thêm

Khái niệm hàm số logarit rất mới mẻ đối với các bạn lớp 12 khi lần đầu được tiếp cận. Ta có thể hiểu logarit là hàm ngược lại của hàm số mũ am = n. Khi đó m được gọi là logarit của một số n cơ số a là logan = m. Ta có thể lấy ví dụ như 23 = 8 thì khi viết về hàm logarit ta có thể viết như sau: log28 = 3. Kiến thức về hàm số logarit cho ta thấy được tầm quan trọng trong chương trình toán học 12 và cũng như trong đề thi THPT Quốc gia môn toán trong nhiều năm gần đây. Vậy để có thể hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ cùng khái quát về hàm số logarit và những dạng bài tập liên quan.


1. Lý thuyết trọng tâm của hàm số logarit

Hàm số logarit có dạng y = loga x; a > 0, a ≠ 1 

• Tập xác định: D = (0; +∞)

• Tập giá trị: T = R

• Đạo hàm:

• Khảo sát hàm số

∗ Hàm số y = loga x (a > 1)

Luôn đồng biến

Tiệm cận đứng là Oy

Luôn đi qua điểm (1;0); (a;1)

Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy

ham-so-logarit-la-gi-va-cac-bai-tap-minh-hoa-day-du-chi-tiet-1

∗ Hàm số y = loga x (0 < a < 1)

Luôn nghịch biến

Tiệm cận đứng là Oy

Luôn đi qua điểm (1;0); (a;1)

Đồ thị: Nằm bên phải trục Oy

ham-so-logarit-la-gi-va-cac-bai-tap-minh-hoa-day-du-chi-tiet-2

Ví dụ: Các hàm số logarit như y = log3 x, y = x , y = ln x, y = logx sẽ là những hàm số logarit với các cơ số lần lượt là 3, , e và 10

2. Công thức tính đạo hàm của hàm số logarit

• (ln x)' = , (x > 0)

• (ln u)' = , (u > 0)

 ( x ≠ 0)      

( u ≠ 0)

• (loga x)' = , (x > 0)

• (loga u)' = , (u > 0)

(x ≠ 0)

(u ≠ 0)

Ví dụ: Đạo hàm của hàm số logarit y = ln(x + 1)

Áp dụng công thức (ln u)' = , (u > 0)

y ' = (ln(x + 1))' = =

» Xem thêm: Những cách giải phương trình logarit chuẩn xác, dễ hiểu

3. Các dạng bài tập liên quan đến hàm số logarit

3.1. Dạng 1: Bài tập tìm tập xác định của hàm số logarit

Bài 1: Với giá trị nào của x thì hàm số y = f(x) = ln(4 - x2) xác định?

A. x ∈ (-2; 2)

B. x ∈ [-2; 2]

C. x ∈ R \ [-2; 2]

D. x ∈ R \ (-2; 2)

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải 

Hàm số y = f(x) = ln(4 - x2) xác định khi

4 - x2 > 0 ⇔ -2 < x < 2

→ Chọn câu A.

Bài 2: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1 và logab > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng định nghĩa và tính chất của hàm logarit để giải.

∗ Cách giải

Ta có:


                 

→ Chọn câu B. 

Bài 3: Cho hàm số y = loga x với 0 < a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Nếu 0 < a < 1 thì hàm số đồng biến trên (0; +∞)

B. Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên (0; +∞) 

C. Tập xác định của hàm số là R

D. Đạo hàm của hàm số là y ' = xlna

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Áp dụng lý thuyết tính đơn điệu của hàm số lograit.

∗ Cách giải

Điều kiện x > 0

Có y ' = ⇒ đáp án D sai.

Hàm số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi 0 < a < 1

→ Chọn câu B.  

Bài 4: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (0; +∞) ?

A. y =

B. y = log3 x

C. y =

D. y =

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Hàm số loga x đồng biến trên (0; +∞) khi và chỉ khi a > 1.

∗ Cách giải

Hàm số loga x đồng biến trên (0; +∞) ⇔ a > 1

⇒ Chọn phương án B: y = log3 x (do 3 > 1)

→ Chọn câu B.

Bài 5: Cho hàm số y = . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = e

B. Tập xác định hàm số là [1; +∞] 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; e) 

D. Hàm số đồng biến trên (e; +∞)

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Tìm tập xác định của hàm số xác định khi A ≥ 0, loga b xác định khi 0 < a ≠ 1; b > 0 

Sử dụng điều kiện về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.

∗ Cách giải

Ta có 

 có điều kiện

Nên tập xác định D = [e; +∞]


   

Nên hàm số đồng biến trên (e; +∞)

→ Chọn câu D. 

3.2. Dạng 2: Bài tập về đạo hàm của hàm số logarit

∗ Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đạo hàm để tính toán.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = log4 (x2 - 4x + 6)

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải 

Sử dụng công thức: (loga u)' = , (u > 0)

y' =

   =

Bài 2: Cho hàm số f(x) = log3 x + x và biểu thức P = f '(x) + 4x. f(x) + 3.f(2) - .f '(1) - 1. Khi đó biểu thức P là: 

A.

B.

C.

D.

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Ta có hàm số f(x) = log3 x + x (x > 0)

⇒ f(2) = log3 2 + 2

Đạo hàm: f '(x) = + 1

⇒ f '(1) = + 1

 = + 1

Khi đó 


   

   

   

→ Chọn câu D.  

3.3. Dạng 3: Bài tập của đồ thị hàm số logarit

Bài 1: Hình bên là đồ thị của ba hàm số y = loga x, y = logb x, y = logc x (0 < a,b,c ≠ 1) được vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

ham-so-logarit-la-gi-va-cac-bai-tap-minh-hoa-day-du-chi-tiet-3

A. b > c > a

B. a > b > c

C. b > a > c

D. a > c > b

ĐÁP ÁN

∗ Cách giải

Do y = loga x và y = logb x là hai hàm đồng biến nên a,b > 1

Do y = logc x nghịch biến nên c < 1. Nên c nhỏ nhất.

Lấy y = m, khi đó tồn tại x1, x2 > 0 để


Dễ thấy x1 < x2 

⇒ am < bm

⇒ a < b

Vậy b > a > c

→ Chọn câu C.

Bài 2: Cho ba số thực a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y = loga x, y = logb x, y = logc x được cho như hình vẽ dưới

ham-so-logarit-la-gi-va-cac-bai-tap-minh-hoa-day-du-chi-tiet-4

A. b < c < a

B. c < a < b

C. a < b < c

D. c < b < a

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu của hàm số và suy ra tính chất và so sánh a,b,c

∗ Cách giải

Ta thấy đồ thị hàm số y = logc x đi xuống

⇒ 0 < c < 1

Đồ thị hàm số y = loga x, y = logb x đi lên hay hàm số này đồng biến

⇒ a > 1; b > 1

Đồ thị hàm số y = loga x nằm trên đồ thị hàm số y = logb

⇔ a < b

→ Chọn câu B. 

Đây là những kiến thức liên quan đến chuyên đề hàm số logarit cùng với những dạng bài tập thường gặp trong dạng toán hàm số logarit kèm lời giải chi tiết. VOH Giáo Dục hy vọng bài viết sẽ hỗ trợ các bạn được kiến thức trong việc học tập bổ ích hơn.


Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Tác giả: Huỳnh Nguyễn Minh Phi

Quy tắc tính logarit đầy đủ & bài tập ứng dụng cực hay
Hàm số mũ là gì? Định nghĩa, công thức & đạo hàm hàm số mũ