Table of Contents
Ta đã được làm quen với khái niệm bất phương trình ở những năm cấp hai và gần đây ta đã biết về kiến thức hàm số logarit khá mới mẻ so với các bạn. Bất phương trình logarit là một trong những kiến thức trọng tâm và thường xuyên xuất hiện nhiều trong đề thi Toán trung học phổ thông quốc gia vào nhiều năm gần đây. Nội dung VOH Giáo Dục mang đến cho các bạn kiến thức tổng quan và những cách giải bài tập bất phương trình logarit thuận tiện nhất để giúp các bạn hiểu rõ hơn.
1. Lý thuyết trọng tâm của bất phương trình logarit
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng
loga x > b; loga x < b; loga x ≥ b; loga x ≤ b. (x > 0)
Chú ý:
Ta có thể sử dụng máy tính để giải và thử đáp án cho các bài tập giải bất phương trình mũ và logarit.
» Xem thêm: Cách giải bất phương trình mũ đầy đủ, chi tiết
2. Cách giải bất phương trình logarit
2.1. Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
∗ Phương pháp giải:
• Nếu a > 1 thì
• Nếu 0 < a < 1 thì
• Nếu a chứa ẩn thì
2.2. Giải bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
∗ Phương pháp giải:
Xác định được loga f(x) chung trong bất phương trình và đặt t = loga f(x) khi đó ta sẽ được bất phương trình ẩn t. Tiếp tục giải t và tìm ra x cuối cùng.
2.3. Giải bất phương trình logarit chứa tham số m
∗ Phương pháp giải:
Cô lập m
• Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng m > f(x) hoặc m < f(x)
• Đặt ẩn phụ nếu cần, tìm điều kiện của ẩn phụ
• Xét hàm số f(x) (hoặc g(t) nếu đặt ẩn phụ) và tìm điều kiện để bất phương trình luôn có nghiệm trên tập K.
5. Bài tập bất phương trình logarit
Bài 1: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
A. 19863
B. 19683
C. 19638
D. 19836
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số
∗ Cách giải
Điều kiện xác định:
Ta có
Đặt t = log3 x. Khi đó bất phương trình trở thành:
→ Chọn câu B.
Bài 2: Tập nghiệm của bất phương trình
A. (-1; 6)
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Dựa vào phương pháp giải bất phương trình logarit cơ bản:
∗ Cách giải
Vì
Nên
→ Chọn câu B.
Bài 3: Bất phương trình log9 (5x + 10) > log3 (x + 1) có tập nghiệm là
A.
B. (-3; 2)
C.
D. (5; +∞)
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Đưa về cùng cơ số. Dựa vào phương pháp giải bất phương trình logarit cơ bản.
∗ Cách giải
Ta có log9 (5x +10) > log3 (x+1)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
→ Chọn câu C.
Bài 4: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình log
A. 5
B. 4
C. 2
D. 6
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Biến đổi và đặt log3 x = t giải bất phương trình ẩn t.
∗ Cách giải
log
(Điều kiện: x > 0, x ≠ 1)
⇔ 2log3 x - 2logx 3 + log3 x ≤ 1
⇔ 3log3 x -
Đặt log3 x = t, t ≠ 0. Bất phương trình (1) trở thành
3t -
⇔
Bảng xét dấu
⇒
⇒
⇒
Mà x ∈ Z+ ⇒ x = 2; 3
→ Chọn câu C.
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3.
A. m ≤
B. m ≥ 4
C. m < 14
D. m > 14
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Đặt t = log3 x
∗ Cách giải
Ta có
3.
⇔
Đặt t = log3 x, x ∈ (0; 1) ⇒ t < 0
Khi đó phương trình trở thành t2 + t + m = 0
⇔ m = -t2 - t = f(t) (*) (t < 0)
Xét hàm số f(t) = -t2 - t (t < 0)
⇒ f '(t) = -2t - 1 = 0
⇔ t =
Bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(t) và đường thẳng y = m.
Để phương trình ban đầu có nghiệm thực x ∈ (0; 1) thì phương trình (*) có nghiệm âm
⇒ m ≤
→ Chọn câu A.
Bài 6: Bất phương trình log3 x ≤ logx 3 có tập nghiệm là
A. (0;
B. (0;
C. (1; 3)
D. (0;
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.
∗ Cách giải
Ta có log3 x ≤ logx 3. Điều kiện: 0 < x ≠ 1
log3 x ≤ logx 3 ⇔ log3 x -
Đặt t = log3 x
Bất phương trình trở thành
Khi đó ta có
⇔
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là:
(0;
→ Chọn câu B.
Bài 7: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình log
A.
B.
C. m ≤
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Vì
⇔ 2mx - x2 ≥ 3
⇔ x2 - 2mx + 3 ≤ 0
Bất phương trình ban đầu vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
x2 - 2mx + 3 ≤ 0 vô nghiệm
Nên x2 - 2mx + 3 > 0, ∀x ∈ R
⇒ Δ ' = m2 - 3 < 0
⇔
→ Chọn câu D.
Bài 8: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4
A. m ≥ 0
B. m ≤
C. m <
D. m > 0
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Đặt t = log3 x ⇔ t ∈ (0; 5)
Đưa bất phương trình về dạng
m ≥ f(t) ∀t ∈ (0; 5) ⇔ m ≥
∗ Cách giải
Điều kiện: x > 0.
4
⇔ 4.
⇔
Đặt t = log3 x ⇔ t ∈ (0; 5) khi đó bất phương trình trở thành
t2 + t + m ≥ 0 ∀t ∈ (0; 5)
⇔ m ≥ -t2 - t = f(t) ∀t ∈ (0; 5)
⇔ m ≥
Ta có f '(t) = -2t - 1 = 0
⇔ t =
f(0) = 0; f(5) = -30 ⇒
Vậy m ≥ 0
→ Chọn câu A.
Bài viết đã nêu rõ ra các dạng toán thường gặp của bất phương trình logarit và hướng dẫn chi tiết cách giải thông qua các ví dụ để giúp các em hiểu rõ hơn. Ngoài ra, bài viết còn thêm các bài tập tự luyện để giúp các em luyện tập và nắm rõ hơn về phần kiến thức và bài tập của bất phương trình logarit.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang