Logarit là gì? Định nghĩa, tính chất & các công thức logarit

Các kiến thức xoay quanh Toán học lớp 12 rất đa dạng và có những độ khó khác nhau, điển hình là logarit. Vậy logarit là gì? Đây là dạng kiến thức có đủ độ khó từ nhận biết đến nâng cao, gây khó khăn cho những người học mới, vậy chúng ta cần phải học và biết những kiến thức gì? Qua chủ đề này chúng ta sẽ cùng khám phá bài viết dưới đây.

1. Logarit là gì?

• Logarit (viết tắt là Log) là phép toán nghịch đảo của phép lũy thừa. Theo đó, logarit của một số a là số mũ của cơ số b (có giá trị cố định), phải được nâng lũy thừa để tạo thành số a đó.

• Hiểu một cách đơn giản hơn, logarit là một phép nhân có số lần lặp đi lặp lại, ví dụ log_a x = y sẽ tương đương với a^y = x. Nếu logarit cơ số 10 của 1000 là 3, ta có, 10³ = 1000 nghĩa là 1000 = 10 x 10 x 10 = 10³ hay log₁₀1000 = 3.

• Tóm lại, lũy thừa của các số dương với số mũ bất kỳ luôn có kết quả là một số dương. Do đó, logarit dùng để tính toán phép nhân của 2 số dương bất kỳ luôn đi kèm điều kiện có 1 số dương ≠ 1.

• Ngoài ra còn có logarit tự nhiên (còn gọi là Logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là lnx hay log_e x. Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e sao cho số e lũy thừa lên bằng x, nghĩa là lnx = a ⇔ e^a = x. Số e có giá trị xấp xỉ bằng 2,71828.

Đọc là: Logarit cơ số a của b

- Nếu a = 10, ta có logarit thập phân:

Kí hiệu: log₁₀ b; logb; lgb.

- Nếu a = e, ta có logarit tự nhiên

Kí hiệu: (Loga Nê-pe): log_e b; lnb.

1.1. Lý thuyết logarit

Với a,b > 0, a ≠ 1, ta có

log_a b = a  ⇔  a^α = b

Chú ý: Để gọn, ta viết (log_a b)² =

Ví dụ:

• Logarit cơ số 2 của 3 là log₂ 3

• Logarit cơ số 5 của 16 là log₅ 16

• Logarit thập phân log16; log

   Lôga Nê-pe ln16; ln

1.2. Ví dụ minh họa

3 = log₂ 8 vì 2³ = 8

-4 = log₃ vì 3^-4 = =

» Xem thêm: Tổng hợp kiến thức về Logarit và cách giải toán Logarit

2. Tính chất logarit

• log_a 1 = 0

• log_a a = 1

•

Tính chất của hàm logarit sẽ giúp các bạn có thể đưa ra định hướng tốt nhất khi giải các bài tập của chuyên đề này. Nếu không có các tính chất, bạn sẽ rất khó có thể giải được các câu hỏi phương trình trong bài tập và đề thi. Tính chất của logarit được sử dụng khi cơ số và đối số của logarit là dương (> 0) và thỏa mãn điều kiện cơ số a ≠ 1 hoặc 0.

∗ Tính chất 1:

   log_a (xy) = log_a x + log_a y

   Theo đó, logarit của 2 số x và y nhân với nhau bằng phép cộng của từng số x và y

∗ Tính chất 2:

   log_a () = log_a x – log_a y

   Logarit của phân số x và y ta có thể viết được dưới dạng phép trừ của 2 logarit. Theo đó, logarit của cơ số x – logarit của cơ số y.

∗ Tính chất 3:

   log_a (x^r) = r. log_a x

   Nếu đối số x của logarit có số mũ là r thì hàm logarit có thể viết bằng tích của số mũ r nhân với logarit của x.

∗ Tính chất 4:

    log_a () = – log_a x

    Ví dụ: log₂ () = – log₂ (3)

∗ Tính chất 5:

    log_a (a) = 1

∗ Tính chất 6:

    log_a (1) = 0 

    Có nghĩa là nếu đối số của hàm logarit bằng 1 thì kết quả của logarit luôn bằng 0 với mọi cơ số a ≠ 0.

∗ Tính chất 7:

» Xem thêm: Quy tắc tính logarit đầy đủ & bài tập ứng dụng cực hay

3. Các công thức logarit

Với a, b > 0, a ≠ 1, α ∈ R 

       • log_a 1 = 0

       • log_a a = 1

       •

       •

Với a, b, c, b₁, b₂ > 0, a ≠ 1, α ∈ R

       •

       •

       •

       •            

       •

       •        

       •              

       •              

- Nếu a > 1 thì

- Nếu 0 < a < 1 thì

» Xem thêm:

• Công thức đổi cơ số logarit và bài tập có lời giải chi tiết
  
• Những cách giải phương trình logarit chuẩn xác, dễ hiểu
  

4. Bài tập vận dụng về logarit lớp 12

Bài 1: Cho . Giá trị của biểu thức bằng

A. 25

B. 26

C. 24

D. 23

Bài 2: Gọi S là tập nghiệm của phương trình . Tìm S

A.

B.

C.

D.

Bài 3: Tập nghiệm của bất phương trình là

A.

B.

C.

D.

Bài 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình  

A.

B.

C.

D.

Bài 5: Tính tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình:  

A. 0

B.

C. 4

D.

Bài 6: Cho . Tính  

A. 5

B. -4

C. -10

D. -16

Bài 7: Cho a,b > 0; a,b ≠ 1 và x, y là hai số thực dương. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai. 

A.

B.

C.

D.

Bài 8: Cho a là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Tổng kết: Vậy qua các khái niệm cùng với công thức ở trên mà VOH Giáo Dục đã chia sẻ ta hiểu được định nghĩa logarit và có thể thấy logarit không hẳn là một kiến thức quá khó, và để đạt được điểm cao trong các phần thi về kiến thức này thì cũng khá đơn giản. Logarit sẽ xuất hiện dưới nhiều dạng bài tập khác nhau theo các mức độ từ nhận biết đến vận dụng trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia, vì vậy qua chủ đề này ta sẽ nắm rõ hơn về cách làm bài của các dạng bài tập này.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang