Đạo hàm hàm số lũy thừa: Công thức tính & bài tập có đáp án chi tiết

Cách tính đạo hàm hàm số lũy thừa là phần kiến thức Toán 12 vô cùng quan trọng, xuất hiện nhiều trong các kỳ thi. Mọi hàm số đều có công thức đạo hàm riêng, hàm số lũy thừa cũng không phải ngoại lệ. Để khảo sát được hàm số lũy thừa, chúng ta cần tính được đạo hàm của nó từ đó lập bảng biến thiên và đi đến các kết luận về sự biến thiên kể trên. Như vậy có thể nói các công thức ở chủ đề đạo hàm hàm số lũy thừa đề cập đến là một trong số các công cụ hỗ trợ chúng ta giải quyết các bước trong một bài tập ở mức độ khó.

1. Các công thức lũy thừa có liên quan đến đạo hàm của hàm số lũy thừa

Các công thức lũy thừa

• a⁰ = 1 (a ≠ 0)

• a^{- n} = (a ≠ 0)

• a^r = = (a > 0)

• (a^α) ^β = a^{α β} (a > 0)

Lũy thừa với số mũ thực có các tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương

Với a,b > 0 (a,b là những số thực dương), α, β ∈ R

• a^α . a^β = a^{α + β}

•  = a^{α - β}

• (ab)^α = a^αb^α

•

•

•

•    (a > 0, n ∈ N*, m ∈ Z)     

•         (a ≥ 0, n,m ∈ N*)

- Nếu a > 1 thì a^α > a^β ⇔ α > β

- Nếu 0 < a < 1 thì a^α > a^β ⇔ α < β

Xem thêm: Tổng hợp các công thức lũy thừa dễ hiểu, dễ nhớ

2. Các công thức đạo hàm hàm số lũy thừa

Một cách tổng quát, người ta chứng minh được hàm số lũy thừa y = x^α (α ∈ R) có đạo hàm ∀x > 0 và

• (x^α)^' = αx^α-1
• (u^α)' = αx^α-1. u'

3. Bài tập đạo hàm hàm số lũy thừa

∗ Sử dụng các công thức đạo hàm để tính toán.

Bài 1: Đạo hàm của hàm số y = x³ - + 5^3x là: 

A. 3x² - + 5^3x . ln25

B. 3x² - + 5^3x. ln125

C. 3x² - + 5^3x . ln5

D. x² - + 5^3x . ln125

Bài 2: Cho hàm số f (x) = - x³ - + 2 . f '(2)  gần với giá trị nào trong các giá trị sau

A. -11,1

B. 11,1

C. 10,11

D. -10,11

Bài 3: Cho hàm số f(x) = log₃ x + x và biểu thức P = f '(x) + 4x.f(x) + 3.f(2) - .f '(1) - 1 . Khi đó biểu thức P là:

A. 4xlog₃ x - 4x² + log₃ 8 - + 6

B. 4xlog₃ x + 4x² + log₃ 8 -  - 6

C. 4xlog₃ x + 4x² - log₃ 8 -  - 6

D. 4xlog₃ x + 4x² + log₃ 8 - + 6

Bài 4: Cho hàm số y = xsinx. Khi đó A = (y + y'')² - 2cos2x có giá trị là 

A. A = 1 

B. A = 2 

C. A = 3 

D. A = 4

Bài 5: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 6, tìm giá trị lớn nhất của y trên đoạn [-1; 1] ?

A. 6

B. 2

C. 4

D. 0

Bài 6: Cho hàm số y = ( x² + 2x +3 )³, khi đó nghiệm của phương trình y + y ' = 0 là?

A. x = -4 -

B. x = -4 +

C. x ∈ ∅

D.

Tóm lại: Trên đây, VOH Giáo Dục đã chia sẻ đến các bạn học sinh bài học về khái niệm, công thức và cách tính đạo hàm hàm số lũy thừa một cách đơn giản, hiệu quả. Các dạng bài tập trên chỉ là áp dụng công thức đạo hàm nên mức độ dàn trải ở nhận biết và thông hiểu. Tuy nhiên, ở hầu hết các bài tập vận dụng vận dụng cao việc sử dụng công thức đạo hàm là một trong các bước để khai triển bài toán. Chủ đề đạo hàm hàm số lũy thừa cũng đóng góp 1 câu trong đề thi THPTQG ở mức độ nhận biết nên chúng ta cần hiểu và nắm chắc công thức để có thể chọn công thức phù hợp cho hàm số nhằm tránh mất điểm câu dễ. Ngoài ra có một lưu ý ở các dạng toán ở mức 9+, đối với các dạng bài tập về hàm đặc trưng, việc chọn hàm số cho biến để đưa về hàm đặc trưng khảo sát thì cần lưu ý đến tính chất hàm số. Thông thường hàm số nói trên sẽ ở các dạng hàm logarit, hàm số mũ hoặc hàm số lũy thừa.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang