Table of Contents
Trong bài học Toán 9 trước ta đã tìm hiểu thế nào là một hàm số đồng biến và thế nào là một hàm số nghịch biến. Vậy hàm số bậc nhất là gì? Hàm số bậc nhất đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào? Bài viết này sẽ nhắc lại cho các em khái niệm về hàm số bậc nhất, đồng thời giới thiệu tới các em về tính chất của nó như: Tính đồng biến và tính nghịch biến, cùng tìm hiểu nhé!
1. Nhắc lại khái niệm hàm số bậc nhất y = ax + b
Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức sau đây: y = ax + b. Trong đó: a, b là các số đã cho trước và a khác 0.
Chú ý: Nếu b = 0, hàm số trở thành y = ax, hàm số có dạng này ta đã được học ở lớp 7.
» Xem thêm: Chuyên đề hàm số y = ax + b đầy đủ phương pháp giải
2. Hàm số bậc nhất đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Hàm số bậc nhất y = ax + b được xác định với mọi giá trị của x thuộc tập số thực R và hàm số bậc nhất này có tính chất như sau:
- Đồng biến trên tập số thực R, khi a > 0.
- Nghịch biến trên tập số thực R, khi a < 0.
Ví dụ 1. Em hãy cho các ví dụ về hàm số bậc nhất đồng biến và hàm số bậc nhất nghịch biến.
Lời giải
- Hàm số bậc nhất đồng biến:
+ Hàm số y = 3x – 1 là hàm số đồng biến trên R, vì a = 3 > 0.
+ Hàm số y = 10x + 11 là hàm số đồng biến trên R, vì a = 10 > 0.
- Hàm số bậc nhất nghịch biến:
+ Hàm số y = – 7x – 9 là hàm số nghịch biến trên R, vì a = – 7 < 0.
+ Hàm số y = – 4x + 12 là hàm số nghịch biến trên R, vì a = – 4 < 0.
» Xem thêm:
3. Các dạng toán về hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến
3.1. Dạng 1: Bài toán xác định hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến
*Phương pháp giải:
Muốn xác định hàm số bậc nhất y = ax + b đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào. Trước tiên, ta phải xác định hệ số a của hàm số bậc nhất đó, sau đó ta xét xem nó thuộc trường hợp nào trong những trường hợp sau
+ Nếu a > 0, khi đó hàm số bậc nhất đã cho đồng biến trên R.
+ Nếu a < 0, khi đó hàm số bậc nhất đã cho nghịch biến trên R.
Ví dụ 2. Cho các hàm số bậc nhất dưới đây. Em hãy xác định hệ số a của chúng và cho biết đâu là hàm số bậc nhất đồng biến, đâu là hàm số bậc nhất nghịch biến. Giải thích?
a) y = 4 – 9x;
b) y = 27x.
ĐÁP ÁN
a) Hàm số y = 4 – 9x.
Ta có hệ số a = – 9 < 0, do đó hàm số y = 4 – 9x là hàm số nghịch biến trên R.
Vậy hàm số y = 4 – 9x là hàm số nghịch biến.
b) Hàm số y = 27x.
Ta có hệ số a = 27 > 0, do đó hàm số y = 27x là hàm số đồng biến trên R.
Vậy hàm số y = 27x là hàm số đồng biến.
3.2. Dạng 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất đồng biến hoặc nghịch biến.
*Phương pháp giải:
Muốn tìm các giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất đồng biến hoặc nghịch biến, ta áp dụng định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến đã trình bày ở trên.
Ví dụ 3. Cho hàm số bậc nhất sau: y = (m – 7)x + 13. Em hãy tìm các giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất đã cho đồng biến, nghịch biến.
ĐÁP ÁN
+ Để hàm số y = (m – 7)x + 13 là hàm số đồng biến, thì a = m – 7 > 0 hay m > 7.
Vậy với m > 7 thì hàm số y = (m – 7)x + 13 là hàm số đồng biến.
+ Để hàm số y = (m – 7)x + 13 là hàm số nghịch biến, thì a = m – 7 < 0 hay m < 7.
Vậy với m < 7 thì hàm số y = (m – 7)x + 13 là hàm số nghịch biến.
4. Củng cố bài tập về hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến
Bài 1. Cho các hàm số bậc nhất sau đây: y = 6x – 1; y = 7 – x; y = – 11x + 2; y = 12 + 3x; y = – 15x – 8; y = 23x + 4. Em hãy điền các hàm số thích hợp vào bảng dưới đây:
Hàm số đồng biến trên R | Hàm số nghịch biến trên R |
. . . | . . . |
ĐÁP ÁN
Ta có bảng sau:
Hàm số đồng biến trên R | Hàm số nghịch biến trên R |
y = 6x – 1 | y = 7 – x |
y = 12 + 3x | y = – 11x + 2 |
y = 23x + 4 | y = – 15x – 8 |
Bài 2. Trong các đáp án sau, đáp án nào chỉ có các hàm số bậc nhất đồng biến trên R?
- y = 17x – 1; y = 19 + 0,6x; y = 8x – 10
- y = 15x – 9; y = 3 – 11x; y = – 4x + 12
- y = 10x + 3; y = 20 – 1,9x; y = 5 – x
- y = – x + 1,8; y = – 7x – 2; y = 1 + 6x
ĐÁP ÁN
+ Hàm số y = 17x – 1 là hàm số đồng biến trên R, vì a = 17 > 0.
+ Hàm số y = 19 + 0,6x là hàm số đồng biến trên R, vì a = 0,6 > 0.
+ Hàm số y = 8x – 10 là hàm số đồng biến trên R, vì a = 8 > 0.
Chọn A.
Bài 3. Các giá trị của tham số m để hàm số y = 10 – (3 + 3m)x đồng biến trên R là:
- m < 1
- m > 1
- m < – 1
- m > – 1
ĐÁP ÁN
Để hàm số y = 10 – (3 + 3m)x là hàm số đồng biến trên R, thì a = - (3 + 3m) > 0 hay 3 + 3m < 0 hay 3m < – 3. Do đó m < – 1.
Vậy với m < – 1 thì hàm số y = 10 – (3 + 3m)x là hàm số đồng biến trên R.
Chọn C.
Bài 4. Cho hàm số bậc nhất sau: y = (4 – 2m)x + 17. Em hãy tìm các giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất đã cho
a) Nghịch biến trên R;
b) Đồng biến trên R.
ĐÁP ÁN
a) Để hàm số y = (4 – 2m)x + 17 là hàm số nghịch biến trên R, thì a = 4 – 2m < 0 hay 2m > 4. Do đó m > 2.
Vậy với m > 2 thì hàm số y = (4 – 2m)x + 17 là hàm số nghịch biến trên R.
b) Để hàm số y = (4 – 2m)x + 17 là hàm số đồng biến trên R, thì a = 4 – 2m > 0 hay 2m < 4. Do đó m < 2
Vậy với m < 2 thì hàm số y = (4 – 2m)x + 17 là hàm số đồng biến trên R.
Bài viết trên đây VOH Giáo Dục đã giải đáp cho các em câu hỏi: Hàm số bậc nhất đồng biến khi nào, nghịch biến khi nào? Qua đó, mong rằng các em nắm rõ các tính chất của một hàm số bậc nhất, để làm các bài tập liên quan một cách chính xác.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang