Table of Contents
Như ta đã tìm hiểu trong bài học trước, đồ thị của hàm số y = ax + b (a khác 0) là một đường thẳng. Vậy khi nào đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau, trùng nhau hoặc cắt nhau? Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng? Bài viết này sẽ giúp các em tìm hiểu về vị trí tương đối của hai đường thẳng và giới thiệu tới các em cách tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau, trùng nhau hoặc cắt nhau cùng với một số dạng toán hay liên quan tới chuyên đề này.
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1.1. Khi nào thì hai đường thẳng song song với nhau?
Hai đường thẳng y = ux + v (u khác 0) và y = u’x + v’ (u’ khác 0) song song với nhau khi và chỉ khi u = u’, v khác v’.
1.2. Khi nào thì hai đường thẳng trùng nhau?
Hai đường thẳng y = ux + v (u khác 0) và y = u’x + v’ (u’ khác 0) trùng nhau khi và chỉ khi u = u’, v = v’.
1.3. Khi nào thì hai đường thẳng cắt nhau?
Hai đường thẳng y = ux + v (u khác 0) và y = u’x + v’ (u’ khác 0) cắt nhau khi và chỉ khi u khác u’.
Chú ý: Khi u khác u’ và v = v’ thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, khi đó chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ là v.
2. Các dạng toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
2.1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
* Phương pháp giải:
Cho hai đường thẳng y = ux + v (u khác 0) và y = u’x + v’ (u’ khác 0). Muốn xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng này, ta có những trường hợp sau
- Nếu u = u’ và v khác v’ thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
- Nếu u = u’ và v = v’ thì hai đường thẳng đã cho trùng nhau.
- Nếu u khác u’ thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng y = 3x + 11 và y = 3x + 7. Chứng minh hai đường thẳng y = 3x + 11 và y = 3x + 7 song song với nhau.
ĐÁP ÁN
Ta có: u = 3; v = 11 và u’ = 3; v’ = 7.
Vì 3 = 3 (u = u’) và 11
Suy ra, hai đường thẳng y = 3x + 11 và y = 3x + 7 song song với nhau.
2.2. Dạng 2: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau, trùng nhau hoặc cắt nhau
* Bài toán: Cho hai hàm số y = (am + b)x + c và y = (a’m + b’)x + c’ là hai hàm số bậc nhất; trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các hằng số và m là tham số. Hãy tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng
a) Song song với nhau;
b) Trùng nhau;
c) Cắt nhau.
Giải:
Vì hai hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất, nên các hệ số am + b và a’m + b’ phải khác 0, nghĩa là
am + b
a) Để đồ thị hai hàm số y = (am + b)x + c và y = (a’m + b’)x + c’ là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi am + b = a’m + b’ và c khác c’
Kết hợp với điều kiện (*), ta kết luận giá trị tham số m.
b) Để đồ thị hai hàm số y = (am + b)x + c và y = (a’m + b’)x + c’ là hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi am + b = a’m + b’ và c = c’
Kết hợp với điều kiện (*), ta kết luận giá trị tham số m.
c) Để đồ thị hai hàm số y = (am + b)x + c và y = (a’m + b’)x + c’ là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi am + b
Kết hợp với điều kiện (*), ta kết luận giá trị tham số m.
Ví dụ 2. Cho hai hàm số y = 2mx + 17 và y = (m + 6)x + 3 là hai hàm số bậc nhất, với m là tham số. Hãy tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng
a) Song song với nhau;
b) Cắt nhau.
ĐÁP ÁN
Vì hai hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất, nên các hệ số 2m và (m+6) phải khác 0, nghĩa là
2m
a) Để đồ thị hai hàm số y = 2mx + 17 và y = (m + 6)x + 3 là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi 2m = m + 6 và 17
Vậy m = 6 thì đồ thị hai hàm số y = 2mx + 17 và y = (m + 6)x + 3 là hai đường thẳng song song với nhau.
b) Để đồ thị hai hàm số y = 2mx + 17 và y = (m + 6)x + 3 là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi 2m
Kết hợp với điều kiện (*), ta có
3. Bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 9
Bài 1. Cho hai đường thẳng y = 9x + 15 và y = 9x + 15. Chứng minh hai đường thẳng y = 9x + 15 và y = 9x + 15 trùng nhau.
ĐÁP ÁN
Ta có: u = 9; v = 15 và u’ = 9; v’ = 15.
Vì 9 = 9 (u = u’) và 15 = 15 (v = v’).
Suy ra, hai đường thẳng y = 9x + 15 và y = 9x + 15 trùng nhau.
Bài 2. Cho hai đường thẳng y = 1,2x + 3,5 và y = 1,7x + 3,5. Chứng minh hai đường thẳng y = 1,2x + 3,5 và y = 1,7x + 3,5 cắt nhau.
ĐÁP ÁN
Ta có: u = 1,2 và u’ = 1,7.
Vì 1,2
Suy ra, hai đường thẳng y = 1,2x + 3,5 và y = 1,7x + 3,5 cắt nhau.
Bài 3. Cho hai hàm số y = (7m + 1)x + 9 và y = (3m + 5)x + 12 là hai hàm số bậc nhất, với m là tham số. Hãy tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng
a) Song song với nhau;
b) Cắt nhau.
ĐÁP ÁN
Vì hai hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất, nên các hệ số 7m + 1 và 3m + 5 phải khác 0, nghĩa là
7m + 1
a) Để đồ thị hai hàm số y = (7m + 1)x + 9 và y = (3m + 5)x + 12 là hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi 7m + 1 = 3m + 5 và 9
Vậy m = 1 thì đồ thị hai hàm số y = (7m + 1)x + 9 và y = (3m + 5)x + 12 là hai đường thẳng song song với nhau.
b) Để đồ thị hai hàm số y = (7m + 1)x + 9 và y = (3m + 5)x + 12 là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi 7m + 1
Kết hợp với điều kiện (*), ta có
Bài viết trên đã trình bày cho các em phần kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng và giới thiệu tới các em cách tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau, trùng nhau hoặc cắt nhau. Mong rằng các em sẽ nắm rõ phần kiến thức của chuyên đề này và áp dụng làm tốt các bài tập tương tự.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang