a) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC.
Ta có: (G là trung điểm )
Mà: (G là trọng tâm )
(1)
BD là trung tuyến của tam giác ABC nên: (2)
Ta lại có: ( G là trọng tâm )
F là trung điểm
Xét và có:
(F là trung điểm cạnh BC)
(F là trung điểm )
(đối đỉnh)
(cạnh – góc – cạnh)
(hai cạnh tương ứng)
Mà: (G là trọng tâm )
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta kết luận: Các cạnh của tam giác dài bằng các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BG và
Và ta có: (G là trọng tâm )
Mà
Ta lại có: (câu a)
(hai góc tương ứng)
Mà: và ở vị trí so le trong
Xét và có:
(hai góc đồng vị)
(gt)
(cạnh – góc – cạnh)
(hai cạnh tương ứng)
Mà: (E là trung điểm của AB)
(4)
Mặt khác ta có: (M là trung điểm của BG)
Và ta có: (G là trọng tâm )
Xét và có:
(giả thiết)
(đối đỉnh)
(cạnh – góc – cạnh)
(hai cạnh tương ứng)
Mà: (D là trung điểm AC)
(5)
Ta lại có: (F là trung điểm BC) (6)
Từ (4), (5) và (6) ta kết luận: Các đường trung tuyến của tam giác bằng các cạnh của tam giác ABC.
