Bài 6: Cung Chứa Góc

I. Bài toán quỹ tích "cung chứa góc"

1. Bài toán.

Cho đoạn thẳng AB và góc  ( ). Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn  

Chứng minh:

a) Phần thuận:

Xét một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB

Giả sử M là điểm thỏa mãn  và nằm trong nửa mặt phẳng đang xét

Xét  tâm O đi qua ba điểm A, M, B

Kẻ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn đi qua 3 điểm A, M, B

(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn )

Tia Ax cố định

Kẻ đường thẳng  tại A

Ay cố định

Gọi d là trung trực của AB nên d cố định

Giao điểm O của d và Ay là điểm cố định, không phụ thuộc M

Vậy M thuộc cung tròn   cố định.

b) Phần đảo:

Lấy M’ là một điểm tùy ý trên  

Ta có:  (góc nội tiếp với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Tương tự, trên nửa mặt phẳng đối của mặt phẳng đang xét, ta còn có  đối xứng với  cũng có tính chất như  .

Mỗi cung trên được gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB.

c) Kết luận:

 Với đoạn thẳng AB mà góc  ( ) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn  là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB.

❖ Chú ý

▪    Hai cung chứa góc   nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.

▪    Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.

Khi  thì hai cung  và  là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. (SGK, trang 85)

2. Cách vẽ cung chứa góc  

- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc .

- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.

- Vẽ cung   tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax ,  được vẽ như trên là một cung chứa góc . (SGK, trang 86)

II. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H. (SGK, trang 86)

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Thị Lệ Trinh (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD)