Cho đoạn thẳng AB và góc ( ). Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn
Chứng minh:
a) Phần thuận:
Xét một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB
Giả sử M là điểm thỏa mãn và nằm trong nửa mặt phẳng đang xét
Xét tâm O đi qua ba điểm A, M, B
Kẻ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn đi qua 3 điểm A, M, B
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn )
Tia Ax cố định
Kẻ đường thẳng tại A
Ay cố định
Gọi d là trung trực của AB nên d cố định
Giao điểm O của d và Ay là điểm cố định, không phụ thuộc M
Vậy M thuộc cung tròn cố định.
b) Phần đảo:
Lấy M’ là một điểm tùy ý trên
Ta có: (góc nội tiếp với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
Tương tự, trên nửa mặt phẳng đối của mặt phẳng đang xét, ta còn có đối xứng với cũng có tính chất như .
Mỗi cung trên được gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB.
c) Kết luận:
Với đoạn thẳng AB mà góc ( ) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB.
❖ Chú ý
▪ Hai cung chứa góc nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.
▪ Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
Khi thì hai cung và là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. (SGK, trang 85)
2. Cách vẽ cung chứa góc
- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc .
- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
- Vẽ cung tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax , được vẽ như trên là một cung chứa góc . (SGK, trang 86)
II. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H. (SGK, trang 86)
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Thị Lệ Trinh (Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến BD)
Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán
Bài 5: Góc Có Đỉnh Ở Bên Trong Đường Tròn. Góc Có Đỉnh Ở Bên Ngoài Đường Tròn