Công thức tính diện tích mặt cầu (hình cầu) chuẩn xác nhất

Khối cầu là một loại kiến thức khó và thường gặp trong chương trình học không gian ở bậc phổ thông, bên cạnh khối cầu là bao gồm các diện tích và thể tích,…Vậy ở chủ đề này VOH Giáo Dục sẽ giúp chúng ta sẽ tìm hiểu về diện tích mặt cầu và các kiến thức có liên quan đồng thời nhắc lại về khối cầu, mặt cầu để có thể liên kết các kiến thức đã học với kiến thức mới. 

1. Khái niệm diện tích mặt cầu (khối cầu)

Vậy ta cần hiểu mặt cầu và khối cầu là gì ?

1.1. Mặt cầu

- Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bánkính bằng R. Kí hiệu: S(O; R)={M|OM = R}.

1.2. Khối cầu

- Mặt cầu S(O;R) cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu tâm O, bán kính R. Kí hiệu: B(O; R) = {M|OM ≤ R}.

- Nếu OA, OB là hai bán kính của mặt cầu sao cho A, O, B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu.

Định lý: 

Cho điểm cố định A, B. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho = 90^o là mặt cầu đường kính AB.

• A ∈ S(O; R) ⇔ OA = R

• OA₁ < R ⇔ A₁ nằm trong mặt cầu.

• OA₂ > R ⇔ A₂ nằm ngoài mặt cầu.

- Bất kỳ đường thẳng nào giao nhau với hình cầu và đi qua tâm của nó là trục đối xứng của hình. Xoay một quả cầu xung quanh trục này ở bất kỳ góc độ nào sẽ biến nó thành chính nó.

- Một mặt phẳng cắt hình đang nghi vấn thông qua tâm của nó chia hình cầu thành hai phần bằng nhau, nghĩa là mặt phẳng phản xạ.

2. Công thức tính diện tích mặt cầu

Khối cầu có bán kính r có diện tích là:

Công thức tính diện tích:

S = 4π.r² = π.d²

Trong đó:

       • r là bán kính của khối cầu

       • d là đường kính của khối cầu

3. Bài tập tính diện tích mặt cầu

Bài 1: Một trái banh có diện tích đường tròn lớn là π thì diện tích của khối cầu đó là:

A. π

B. π 

C. π 

D. 9π

Bài 2: Một quả bóng bàn có hình dạng bên ngoài là mặt cầu R = cm. Diện tích quả bóng bàn là

A. π cm²

B. π cm²

C. 16 π cm²

D. π cm²

Bài 3: Cho mặt cầu có diện tích bằng . Bán kính R của khối cầu bằng bao nhiêu ?

A. R =

B. R =

C. R =

D. R =

Bài 4: Cho trái banh có diện tích bằng π (cm²). Bán kính của khối cầu bằng:

A. R = (cm)

B. R = (cm)

C. R = (cm)

D. R = (cm)

Bài 5: Cho trái bi-da mặt cầu (A₁) có bán kính R₁, và viên bi mặt cầu (A₂) có bán kính R₂ = 0,75R₁. Tính tỷ số diện tích của mặt cầu (A₁) và (A₂)?

A.

B.

C.

D.

Bài 6: Cho một hộp quà có dạng hình hộp chữ nhật EFGH.E'F'G'H' có EF = 2a, EH = 2,5a, EE' = 6a nội tiếp mặt cầu (O). Tính diện tích mặt cầu (O).

A. 6πa²

B. πa²

C. πa²

D. πa²

Bài 7: Cho tam giác EFG vuông cân tại E có EF bằng 12cm. Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác EFG một vòng quanh cạnh FG.Hãy tính diện tích mặt cầu được tạo thành.

A. S = 124π cm²

B. S = 28π cm²

C. S = π cm²

D. S = 288π cm²

Bài 8: Một trái banh có diện tích bằng lần thể tích. Hãy tính bán kính của trái banh này

A. 2

B. 7

C. 4

D. 8

Bài 9: Công thức để tính diện tích của mặt cầu có bán kính 9R bằng:

A. 300π.R²

B. 22π.R²

C. 324π.R²

D. π.R²

Trong đề thi THPTQG, nội dung về diện tích mặt cầu không thường xuyên xuất hiện. Tuy nhiên, nội dung của chủ đề này là một phần kiến thức có liên quan đến khối cầu. Để giải quyết được các bài toán có liên quan đến khối cầu thì ngoài công thức tính thể tích thì diện tích cũng là vấn đề cần được khai thác. Chính vì vậy, để có thể đạt điểm tối đa các câu ở mức độ nhận biết đến vận dụng của khối cầu, ta cần có kiến thức thật chắc kĩ năng giải bài tập và dựng hình về khối cầu.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang