Table of Contents
Ở khối cầu ta thường được gặp rất nhiều các dạng đồ vật có hình dạng như vậy, ví dụ như quả bóng, quả bi-da,… Vậy thì chúng ta cần phải tìm hiểu xem mặt cầu là gì và thể tích khối cầu có công thức tính như thế nào? Hôm nay ở chủ đề này, chúng ta sẽ cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu về dạng hình học không gian gây khó dễ đối với các học sinh nhiều nhất là khối cầu hay đi sâu hơn đó chính là thể tích khối cầu.
1. Định nghĩa
∗ Mặt cầu:
Mặt cầu tâm O, bán kính R được kí hiệu là (O, R) là mặt cong tạo bởi quỹ tích các điểm cách điểm O một khoảng cách đúng bằng R trong không gian 3 chiều.
∗ Khối cầu:
Tập hợp những điểm nằm trong mặt cầu và mặt cầu được gọi là hình cầu hay khối cầu có tâm I bán kính là R = IA.
2. Công thức tính thể tích khối cầu
Để có thể tính được thể tích khối cầu ta cần tìm kích thước bán kính của nó. Sau đó thay vào công thức V =
• V là thể tích của khối cầu có đơn vị m3
• π là số pi, có giá trị xấp xỉ 3,14
• r là bán kính của khối cầu
• d là bánh kính mặt cầu hoặc hình cầu
.jpg)
2.1. Cách tính thể tích khối cầu
Các bạn cần thực hiện qua 3 bước sau đây để có thể giải một bài toán tính thể tích khối cầu (hình cầu).
• Bước 1: Sử dụng giấy nháp và viết công thức tính thể tích hình cầu.
V =
• Bước 2: Tìm kích thước bán kính
Nếu đề bài toán có cho sẵn kích thước bán kính ⇒ Thực hiện bước tiếp theo.
Nếu đề bài cho đường kính thì cần thực hiện chia đôi để có được bán kính (r). Ví dụ, đường kính d = 20 cm, thì bán kính r = 10 cm.
• Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích hình cầu và thay vào đề bài.
Ví dụ: Tìm được bán kính khối cầu r = 10 cm. Ta có,
Thể tích khối cầu V =
2.2. Mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp
3. Bài tập vận dụng công thức tính thể tích khối cầu
Bài 1: Khối cầu có bán kính R có thể tích bằng?
A.
B. 2π.R3
C. 4π.R3
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Theo công thức thể tích khối cầu V =
→ Chọn câu D.
Bài 2: Khối cầu (S1) có V bằng 235 m3 và có r1 gấp 3 lần r2 khối cầu (S2). Đáp án thể tích của khối cầu (S2) nào dưới đây thỏa mãn
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Ta có V
⇒ r1 =
⇒ r2 =
Từ đó suy ra
V
=
=
→ Chọn câu B.
Bài 3: Cho hình chóp S.XYZ có đáy là tam giác đều cạnh 3, tam giác SXY đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Tam giác SXY là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
Nên SH ⊥ (SXY) với H là trung điểm của XY.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ.
Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với (XYZ)
Khi đó d là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SXYZ.
Dựng mặt phẳng trung trực của (SXY), khi đó mặt phẳng này cắt SH tại L.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng định lý Py-ta-go.
∗ Cách giải
Gọi H là trung điểm của XY. Khi đó SH ⊥ (SXY)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ
Dựng đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (XYZ)
⇒ d // SH
Dựng đường trung trực của (SXY), cắt d tại I'.
Khi đó I' là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.XYZ.
Gọi L là giao điểm của SH và mặt phẳng trung trực của (SXY).
⇒ I'LHI là hình chữ nhật, L là trọng tâm tam giác SXY
Khi đó:
R = SI' = I'X = I'Y = I'Z là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SXYZ.
Tam giác XYZ đều cạnh 3 nên
ZH =
⇒ IZ =
Tam giác SXY đều cạnh 3 nên
SH =
⇒ HL =
Xét tam giác I'IZ vuông tại I ta có:
I'Z =
=
=
V =
=
=
→ Chọn câu A.
Bài 4: Cho hình chóp S.EFG có SE vuông góc với mặt phẳng (EFG), SE = 3a, EF = 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Chứng minh ΔEFG vuông tại F, tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.
Sử dụng công thức R2 =
∗ Cách giải
Ta có: cos30o =
⇒ cos
⇒ ΔEFG vuông tại F.
Gọi I là trung điểm EG.
⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔEFG
⇒ IE = IG =
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.
R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
h là chiều cao hình chóp.
Ta có công thức sau:
R2 =
⇒ R2 =
=
⇒ R =
⇒ V =
=
→ Chọn câu B.
Bài 5: Cho hình chóp S.IJK có đáy IJK là tam giác vuông cân tại J, JK =
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đi qua các đỉnh của khối chóp bằng phương pháp dựng hình, từ đó dựa vào tính toán xác định bán kính – thể tích mặt cầu
∗ Cách giải
Theo giả thiết
Ta có
Do
⇒ IE ⊥ (SKJ)
⇒ IE ⊥ EK (2).
Từ (1), (2)
⇒ Ba điểm J, E, F cùng nhìn xuống IK dưới một góc 90o
Nên hình chóp I.EFKJ nội tiếp mặt cầu tâm O là trung điểm IK.
⇒ R =
=
Vậy thể tích khối cầu
V =
=
→ Chọn câu D.
Trong đề thi THPT Quốc gia thì thể tích khối cầu luôn được phân loại từ dễ đến khó cùng với số lượng câu hỏi khá nhiều và đa dạng. Để làm tốt và nắm chặt được những điểm đó thì ta cần phải thuộc và hiểu định nghĩ cùng với công thức, bên cạnh đó cũng vận dụng nhiều bài tập nhất có thể để làm quen.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang