Table of Contents
Hình trụ tròn là một dạng hình học thường xuất hiện xung quanh cuộc sống. Chúng ta có thể dễ dàng bắt gặp các đồ vật có dạng hình trụ tròn như lon nước, ly nước, cột điện,… Chúng ta có thể dễ dàng nhìn nó ở nhiều góc độ khác nhau để có thể thấy được nhiều mặt phẳng của hình trụ đó. Khi chúng ta nhìn ở góc độ nào thì chúng ta đều có thể ghi nhận được một mặt trụ của hình trụ đó. Khi mặt phẳng đó xoay một vòng thì ta sẽ được một hình trụ. Ta gọi đó là mặt trụ tròn xoay. Mặt trụ tròn xoay là một kiến thức quan trọng của bộ môn Toán hình 12. Hãy cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu rõ về khái niệm mặt trụ tròn xoay và các dạng bài tập trọng tâm nhé!
1. Lý thuyết mặt trụ tròn xoay
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mặt phẳng (P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng Δ được gọi là trục.
Đường thẳng l được gọi là đường sinh.
Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2. Lý thuyết về khối trụ tròn xoay hay còn gọi là khối trụ
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
• Đường thẳng AB được gọi là trục.
• r = AD = BC : bán kính đáy.
• I = CD : đường sinh của hình trụ.
• AB = CD = h : chiều cao của hình trụ.
3. Các dạng bài tập trọng tâm về mặt trụ tròn xoay
3.1. Bài tập về hình trụ được tạo bởi tứ giác vuông xoay quanh một cạnh cố định
∗ Phương pháp giải:
- Xác định được cạnh cố định và vẽ hai đáy hình tròn chứa hai điểm của cạnh đó.
- Xác định được hình trụ cần tìm
- Áp dụng các công thức liên quan đến hình trụ giải quyết yêu cầu đề bài
3.2. Bài tập tính thiết diện mặt trụ tròn xoay khi có một mặt phẳng cắt qua trục
∗ Phương pháp giải:
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp vuông góc với trục thì ta được đường tròn có tâm trên và bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
.jpg)
Ví dụ: Mặt phẳng qua trục của hình trụ tạo ra thiết diện là hình vuông có đường chéo là 4
A. π cm3
B. 16π cm3
C. 3π cm3
D. 4π cm3
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Thiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông ABCD như hình vẽ.
Ta có đường chéo 4
⇒ Hình vuông có cạnh 4 (cm)
Hình vuông cạnh 4 (cm) nên
AB = 2r = 4
⇒ r = 2 (cm)
Chiều cao của khối trụ là:
h = AD = 4 (cm)
Thể tích của khối trụ là:
V = π.r2.h = 16π cm3
→ Chọn câu B.
3.3. Bài tập tính thiết diện của mặt trụ tròn xoay cắt bởi mặt phẳng không qua trục
∗ Phương pháp giải:
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elip có trục nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng
Cho mặt phẳng (α) song song với trục Δ của mặt trục tròn xoay và cách Δ một khoảng d.
Nếu d < r thì mặt phẳng (α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.
Nếu d = r thì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh
Nếu d > r thì mặt phẳng (α) không cắt mặt trụ.
Ví dụ: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3R. Mặt phẳng (β) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Giả sử (β) cắt trụ theo thiết diện là hình chữ nhật EFGH.
Gọi I, I' lần lượt là tâm hai mặt đáy của hình trụ
K là trung điểm EF ta có
IK ⊥ EF và IK =
⇒ EK =
=
⇒ EF =
EH = II' = 3R
⇒ SEFGH = EF.EH
=
=
→ Chọn câu B.
4. Bài tập mặt trụ tròn xoay
Bài 1: Cho hình chữ nhật EFGH có EF = 6, FG = 8. Gọi V1; V2 lần lượt là thể tích của các khối trụ khi quay hình chữ nhật quanh EF và FG. Khi đó tỉ số
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Khi quay hình chữ nhật EFGH quanh cạnh EF
Ta được hình trụ có chiều cao bằng EF và bán kính đáy FG
⇒ V1 = π.FG2.EF
Khi quay hình chữ nhật EFGH quanh cạnh FG
Ta được hình trục có chiều cao bằng FG và bán kính đáy EF
⇒ V2 = π.EF2.FG
⇒
=
=
→ Chọn câu A.
Bài 2: Thiết diện qua trục của 1 hình trụ là hình vuông có đường chéo là 6a
A. 27 πa2
B. 54 πa2
C. 32 πa2
D. 18 πa2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Stp = 2πR (R + h)
Trong đó R; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
∗ Cách giải
Chiều cao của hình trụ h = 6a và bán kính đáy của hình trụ R = 3a
Do đó diện tích toàn phần của hình trụ là
Stp = 2πR (R + h)
= 2π.3a.(3a + 6a)
= 54 πa2
→ Chọn câu B.
Bài 3: Trong không gian cho hình chữ nhật EFGH có EF = 2 và FG = 4. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của FG và EH. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục IK, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
A. 8π
B. 16π
C. 32π
D. 3π
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ:
Stp = 2π.r.h + 2π.r2 = 2π.r(r + h)
∗ Cách giải
Hình trụ thu được có bán kính đáy r = FK = 2 và chiều cao h = EF = 2
Diện tích toàn phần hình trụ là Stp = 2π.r(r + h) = 16π
→ Chọn câu B.
Trong đề THPTQG, ngoài hình nón thì hình trụ cũng là một trong các kiến thức thường xuyên được đề cập trong đề. Đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng bài liên quan đến mặt trụ tròn xoay. Các kiến thức về mặt trụ tròn xoay sẽ giúp các em hoàn thành tốt các bài tập trong kì thi THPT Quốc gia môn Toán. Hi vọng kiến thức này sẽ giúp các em học tốt.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang