Mặt nón tròn xoay là gì? Định nghĩa, công thức & bài tập liên quan

Chủ đề mặt nón tròn xoay là một trong các kiến thức hoàn toàn mới trong chương trình toán bậc THPT, tuy nhiên nếu hiểu rõ bản chất của phương pháp dựng hình để tạo ra mặt nón tròn xoay thì các khái niệm có liên quan đều dễ hiểu.

1. Mặt nón tròn xoay

Đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và tạo thành góc β với 0^o < β < 90^o, mặt phẳng (P) chứa d, Δ. (P) quay quanh trục Δ với góc β không đổi. Ta được mặt nón tròn xoay đỉnh O.

• Δ gọi là trục.

• d được gọi là đường sinh.

• Góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2. Các công thức về khối nón có liên quan đến mặt nón tròn xoay

Mối liên hệ giữa h, l và r

       • h² + r² = l²

Diện tích xung quanh

       • S_xq = πrl

Diện tích đáy

       • S_đ = πr²

Diện tích toàn phần

       • S_tp = S_xq + S_đ = πrl + πr²

Thể tích khối nón

       • V = πr²h

Chu vi đáy

       • C_đ = 2πr

∗ Ví dụ minh họa: Hình nón có chiều cao là 4, bán kính đáy là 3.

- Độ dài đường sinh là

l² = h² + r² = 3² + 4² = 25

⇔ l = 5

- Diện tích xung quanh

S_xq = πrl = π.3.5 = 15π

- Diện tích đáy

S_đ = πr² = π.3² = 9π

- Diện tích toàn phần

S_tp = S_xq + S_đ = πrl + πr² 

      = 15π + 9π = 24π

- Thể tích khối nón

V = πr²h =  π.3².4 = 12π

- Chu vi đáy

C_đ = 2πr = 2π.3 = 6π

3. Mặt nón tròn xoay đặc biệt

3.1. Hình nón cụt

Đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và tạo thành góc β với 0^o < β < 90^o, mặt phẳng (P) chứa d, Δ. (P) quay quanh trục Δ với góc β không đổi. Ta được mặt nón tròn xoay đỉnh O.

• Δ gọi là trục.

• d được gọi là đường sinh.

• Góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

Khi cắt mặt phẳng (Q) cách đáy hình tròn một khoảng h ta được hình nón cụt sau

3.2. Các công thức liên quan đến hình nón cụt

Diện tích xung quanh

• S_xq = πl (r₁ + r₂)

Diện tích toàn phần

• Stp = π (r₁ + r₂ + lr₁ + lr₂)

Thể tích khối nón

• V = πh (r₁² + r₁r₂ + r₂²) 

4. Bài tập tính toán dựa trên các công thức liên quan mặt nón tròn xoay

Bài 1: Một khối nón có bán kính r = 3a được tạo thành khi xoay đường sinh SB quanh trục SO, góc hợp bởi SB và trục SO là 30⁰. Tính thể tích của khối nón. 

A. 9π a³

B. π a³

C.

D.

Bài 2: Cho một khối nón có bán kính đáy là 27cm, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 60^o. Tính diện tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.

A. 1486 cm²

B. 729cm²

C. cm²

D. 1458 cm²

5. Bài tập thiết diện khối nón của mặt nón tròn xoay

5.1. Phương pháp giải

Trường hợp 1: Thiết diện qua trục của hình nón: mặt phẳng (P) đi qua trục của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh SA, SB (AB là đường kính đáy). Thiết diện là tam giác cân SAB.

Thiết diện qua trục của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như:

       • Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân: AB = SA.

       • Thiết diện qua trục là một tam giác đều: AB = SA = SB.

       • Thiết diện qua trục có góc ở đỉnh (góc ) bằng số độ cho trước…

Trường hợp 2: Thiết diện qua đỉnh của hình nón: mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt mặt nón theo 2 đường sinh SA, SB (AB là dây cung bất kì của đáy). Thiết diện là tam giác cân SAB.

Chú ý:

Kẻ OH ⊥ AB thì H chính là trung điểm của AB.

Góc giữa mặt phẳng (SAB) với đường tròn đáy là .

Kẻ OK ⊥ SH thì OK = d(O, (SAB)).

Trường hợp 3: Thiết diện vuông góc với trục của hình nón và song song với đường tròn đáy hình nón: mặt phẳng (P) vuông góc với trục hình nón. Giao tuyến là một đường tròn.

5.2. Bài tập minh họa

Bài 3: Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 60^o là tam giác đều cạnh bằng 2a cm. Tính V của khối nón đó 

A. 9π cm³

B. 21 πa³ cm³

C. πa³ cm³

D. πa³ cm³

Bài 4: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 30a và bán kính đáy r = 35a. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy bằng 14a. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là:

A. a²

B. a²

C. a²

D. a²

Bài 5: Cho hình nón có đáy là đường tròn có đường kính 50, chiều cao hình nón là 60. Người ta quay ngược hình nón và đổ vào một lượng nước với chiều cao nước là 40. Tính thể tích của phần không chứa nước.

A. π

B. π

C. π

D.

Xét về phần lý thuyết thì mặt nón tròn xoay là cơ sở hình thành các khái niệm như hình nón và khối nón. Ta có thể dễ dàng hiểu được các dạng toán nếu nắm chắc các phương pháp giải phù hợp cho từng dạng. Nội dung của chủ đề này cũng đóng góp 1 đến 2 câu ở mức độ thông hiểu trong đề THPTQG.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang