Table of Contents
Trong chương trình toán bậc THPT, khối cầu là một dạng bài tập thường xuyên xuất hiện. Đây không phải là kiến thức mới vì trong chương trình bậc THCS, khối cầu là một dạng toán thực tế thường xuyên xuất hiện. Chính vì vậy lý thuyết về khối cầu cũng khá đơn giản. Chủ đề này chúng ta sẽ đi khai thác không những về công thức liên quan khối cầu mà còn về vị trí tương đối của điểm đường thẳng và mặt phẳng với khối cầu.
1. Khối cầu là gì?
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu S(O;R).
Khối cầu S(O;R) =
2. Vị trí tương đối giữa điểm – đường thẳng – mặt phẳng và khối cầu
2.1. Vị trí tương đối giữa điểm và khối cầu
Cho điểm A và mặt cầu S(O;R). Ta có:
• Điểm A thuộc mặt cầu khi OA = R.
• Điểm A nằm trong mặt cầu khi OA < R.
• Điểm A nằm ngoài mặt cầu khi OA > R.
2.2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và khối cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).
• Nếu h > R: mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.
• Nếu h = R: mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H.
Ta có: Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu.
Vậy ta có: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
• Nếu h < R: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r =
2.3. Vị trí tương đối của đường thẳng khối cầu
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O và d = OH là khoảng cách từ O đến ∆.
• Nếu d < R, đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm M, N.
Đặc biệt, khi d = 0 thì đường thẳng ∆ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu.
• Nếu d = R, đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm H. (H gọi là tiếp điểm và đường thẳng ∆ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu).
• Nếu d > R, đường thẳng ∆ không cắt mặt cầu.
3. Công thức tính diện tích khối cầu
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S = 4π.R2.
4. Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R
Khối cầu bán kính R có thể tích là: V =
π.R3.
5. Bài tập áp dụng diện tích, thể tích khối cầu
5.1. Phương pháp giải
Sử dụng các công thức sau để xác định yêu cầu bài toán
Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S = 4π.R2.
Khối cầu bán kính R có thể tích là: V =
5.2. Bài tập minh họa
Bài 1: Mặt cầu có bán kính
A.
B.
C.
D. 8π.R3
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Áp dụng công thức V =
Thể tích khối cầu có bán kính
V =
→ Chọn câu B.
Bài 2: Cho hình tròn có chu vi là 8aπ quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng:
A.
B.
C. 256 πa3
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Hình tròn có chu vi là 8aπ nên suy ra đường kính hình tròn đó là 8a.
Cho hình tròn đường kính 8a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 8a hay bán kính R = 4a.
Vậy thể tích khối cầu là:
V =
=
=
→ Chọn câu B.
Bài 3: Một khối cầu có diện tích đường tròn đồng tâm với khối cầu 3π thì diện tích của khối cầu đó là:
A. π
B. 12
C. 8π
D. 12π
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Gọi r là bán kính của mặt cầu.
Diện tích đường tròn lớn bằng π.r2.
Theo giả thiết: π.r2 = 3π ⇔ r =
Vậy diện tích mặt cầu là:
S = 4π.r2 = 12π
→ Chọn câu D.
Bài 4: Một mặt cầu có đường kính bằng 40cm. Một mặt phẳng cách tâm mặt cầu 16 cm cắt mặt cầu theo một đường tròn. Chu vi của đường tròn đó bằng:
A. π cm
B. 12π cm
C. 24π cm
D. 24 cm
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Gọi I là tâm mặt cầu. O là tâm đường tròn.
OI chính là khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng cắt.
Ta có IA = 20, OI = 16.
Xét tam giác IOA vuông tại O
Ta có: OA =
Vậy chu vi đường tròn là:
C = 2π.r = 24π cm.
→ Chọn câu C.
Bài 5: Cho mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình trụ, biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích mặt cầu bằng 24π (cm2). Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A. π (cm2)
B. 12π (cm2)
C. 12 (cm2)
D. 24π (cm2)
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Ta có diện tích của mặt cầu là:
Smc = 4π.R2 = 24π (cm2)
⇒ R =
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên h = 2r.
Nên: R =
Do đó diện tích xung quanh hình trụ là:
S = 2π.r.h
= 2π.
= 12π (cm2)
→ Chọn câu B.
Bài 6: Một bình đựng nước có dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có bán kính bằng một nửa chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 54π (cm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một phần ba của khối cầu đã chìm trong nước ( hình dưới). Tính thể tích nước còn lại trong bình.
A. 25π (cm3)
B. 54 (cm3)
C. 54π (cm3)
D. 108π (cm3)
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Gọi R là bán kính của khối cầu thì thể tích nước tràn ra bằng một phần ba thể tích khối cầu.
⇒ R =
Suy ra chiều cao của nón là h = 2R =
Gọi r là bán kính đáy của nón
Thì
⇒ r =
Suy ra
VN =
Vậy thể tích nước còn lại là
108π - 54π = 54π cm3.
→ Chọn câu C.
Các dạng toán về khối cầu đã được trình bày một cách tường minh và có hình vẽ minh họa cụ thể. Đối với các dạng toán liên quan nhiều đến tính chất hình thì việc vẽ hình chiếm vai trò rất quan trọng trong việc hình thành tư duy giải bài. Sau chủ đề này ta sẽ tìm hiểu thêm về các chủ đề khác có liên quan đến tính chất nội tiếp, ngoại tiếp của khối chóp.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang