Table of Contents
Hình nón tròn xoay là một chủ đề đã được đề cập từ trước, chủ đề này xoay quanh việc tạo ra hình nón tròn xoay từ một tam giác vuông xoay quanh trục hoặc một đường thẳng xoay quanh trục. Phần bề mặt xung quanh hình chính là diện tích xung quanh của hình đó. Như vậy, ở chương này chúng ta cùng nhắc lại khái niệm, định nghĩa và tìm hiểu về công thức tính diện tích xung quanh hình nón là gì và các dạng bài tập xoay quanh nội dung này có dạng ra sao, chủ đề này sẽ làm rõ vấn đề trên.
1. Hình nón tròn xoay
Cho tam giác SOA vuông tại O. Quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông SO tạo ra hình nón tròn xoay.
Khối nón là phần không gian giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả hình nón đó.
Các thông số thường gặp:
• Bán kính đáy: r = OA = OB
• Chiều cao của hình nón: h = SO
• Đường sinh của hình nón: I = SA
• Góc ở đỉnh:
2. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón
Diện tích xung quanh hình nón tròn xoay có công thức tính như sau:
Sxq = π.r.l
3. Diện tích xung quanh hình nón cụt
Diện tích xung quanh hình nón cụt có công thức tính như sau:
Sxq = π.l(r1 + r2)
4. Bài tập tính diện tích xung quanh của hình nón
Bài 1: Một hình nón có bán kính đáy là 10a, chiều cao là 25a. Diện tích xung quanh hình nón trên là:
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Áp dụng công thức h2 + r2 = l2, đường sinh của hình nón là:
l =
=
= 5a
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = π.r.l = π.10a.5a
=
→ Chọn câu A.
Bài 2: Một khối nón có diện tích đáy 8π cm2 và thể tích bằng 17π cm3. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Ta có Sđáy = 8π
⇔ π.r2 = 8π
⇔ r2 = 8
⇔ r =
Ta có
V =
Nên ta có chiều cao của hình nón là
h =
=
Vậy đường sinh của hình nón là:
l =
=
=
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = π.r.l = π.
=
→ Chọn câu A.
Bài 3: Một khối nón có bán kính r = 10a, góc ở đỉnh là 60o. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. 100a2π
B. 20a2π
C. 200a2π
D. 50a2π
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Góc ở đỉnh là
r = OA = 10a
⇒ SA = AB = SB = 2r = 20a
Chiều cao của hình nón bằng với chiều cao của tam giác đều SAB cạnh 20a nên
h = SO =
Vậy đường sinh của hình nón là:
l =
=
= 20a
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = π.r.l = π.10a.20a = 200a2π
→ Chọn câu C.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh AC = 2a
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = 2a
Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay có đường cao là:
h = SA , độ dài bán kính r = AC = 2a
Vậy đường sinh của hình nón là: SC = 3a.
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = π.r.l
= π. 2a
=
→ Chọn câu A.
Bài 5: Cho ΔABO vuông tại O,
A. 3πa2
B.
C. 2πa2
D. 2
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Khi quay ΔABO quanh trục AO ta được hình nón có bán kính đáy là r = OB, đường sinh l = AB = 2a.
Xét tam giác ABO vuông tại O ta có:
r = OB = AB . sin60o
=
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = π.r.l = 2
→ Chọn câu D.
Bài 6: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng 2a. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác có góc ở đỉnh bằng 120o. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Gọi ΔSAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ).
Theo đề bài ta có
Bán kính r = 2a.
Tam giác SAB có góc ở đỉnh bằng
Do đó
Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:
h = SO =
=
Vậy đường sinh của hình nón là:
SA =
=
=
Diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = π.r.l
= π.2a.
=
→ Chọn câu C.
Bài 7: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 3a
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Cách giải
Gọi ΔSAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ).
Tam giác SAB cân tại S và là tam giác cân nên l = SA = SB = 3a.
Ta có AB = 3a
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:
Sxq = π.r.l
= π.3a.
=
→ Chọn câu B.
Trong kì thi THPTQG, diện tích xung quanh hình nón thông thường sẽ có 1 câu ở mức độ thông dụng, vận dụng. Câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh phải biết vẽ hình và có tư duy về cách xác định góc hoặc khoảng cách trong hình học không gian. Đó là một trong các yếu tố mà giả thuyết thường đề cập đến để từ đó xác định ra đường sinh và bán kính đáy của hình nón đã cho. Vì vậy, hy vọng ở chương này các em sẽ nắm rõ các khái niệm, định nghĩa và các công thức tính diện tích xung quanh để có thể đạt điểm cao trong kì thi quan trọng sắp tới.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang