Table of Contents
Trong cuộc sống thực tế, không khó để bắt gặp những vật thể có dạng hình trụ tròn xoay như: cái bình nước, lon sữa đặc, xô đựng nước,…Trong chủ đề này chúng ta sẽ cùng VOH Giáo Dục đi tìm hiểu về định nghĩa hình trụ tròn xoay, cách dựng hình trụ tròn xoay từ một hình chữ nhật và trục xoay để từ đó thu được công thức tính diện tích xung quanh cũng như thể tích hình trụ tròn xoay.
1. Khái niệm mặt trụ tròn xoay có liên quan đến hình trụ tròn xoay
∗ Mặt trụ tròn xoay
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mặt phẳng (P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
• Đường thẳng Δ được gọi là trục.
• Đường thẳng l được gọi là đường sinh.
• Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2. Định nghĩa hình trụ tròn xoay
- Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
- Ở đây chúng ta cần lưu ý là nếu phần diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được dàn trải ra trên một mặt phẳng sẽ tạo thành hình chữ nhật như sau:
- Trong đó DD và CC lần lượt là độ dài của chu vi hai đáy nên DD = CC.
3. Công thức tính diện tích hình trụ tròn xoay
3.1. Diện tích xunh quanh hình trụ tròn xoay
• Sxq = 2π.r.l
3.2. Diện tích hai đáy của hình trụ tròn xoay
• S2đáy = 2π.r2
3.3. Diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay
• Stp = Sxq + S2đáy = 2π.r.l + 2π.r2
Trong đó
• r là bán kính hai đáy nên r = AD = BC
• l là đường sinh của hình trụ đồng thời là chiều cao hình trụ nên l = DC = AB
4. Thể tích hình trụ tròn xoay
Thể tích khối trụ
• V = π.r2. h
Trong đó
• r là bán kính hai đáy nên r = AD = BC
• l là đường sinh của hình trụ đồng thời là chiều cao hình trụ nên l = h = DC = AB
5. Bài tập về hình trụ tròn xoay
Bài 1: Trong không gian, cho hình chữ nhật EFGH có EF = a và EH = 2a. Gọi A, B lần lượt là trung điểm của EF và GH. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục AB, ta được một hình trụ. Tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đó.
A.
B. πa3
C. 2πa3
D. 4πa3
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Công thức tính thể tích khối trụ là V = π.r2. h trong đó h là chiều cao của hình trụ, r là bán kính đáy.
∗ Cách giải
Ta có: chiều cao h của khối trụ là EH nên h = 2a
Bán kính đáy là r =
Khi đó ta có thể tích khối trụ cần tìm là
V = π.r2. h = π.
→ Chọn câu A.
Bài 2: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Bán kính của đường tròn đáy là 3 cm. Thợ sơn sử dụng cây lăn và lăn trọn 6 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một diện tích là 900π (cm2), biết cái trục lăn sơn nước có 3 loại: nhỏ, trung bình, lớn tương ứng với chiều dài lần lượt là 15, 25, 40 cm. Hỏi cây lăn trên là loại nào?
A. Không có đáp án
B. Loại nhỏ
C. Loại trung bình
D. Loại lớn
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Lăn 1 vòng sẽ được 1 diện tích bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
∗ Cách giải
Sau khi lăn trọn 6 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng 1 diện tích là:
6.Sxq = 6.2π.R.h
= 6.2π.3.25
= 900π (cm2)
⇔ h = 25
Vậy trục lăn là loại trung bình.
→ Chọn câu C.
Bài 3: Cho hình chữ nhật GHJK cạnh GH = 40, GK = 60. Gọi O, O’ là trung điểm các cạnh GH và JK. Cho hình chữ nhật GHJK quay quanh OO' ta được hình trụ tròn xoay. Tiến hành đổ nước vào hình trụ đó thì thể tích nước trong bình khi đó là:
A. V = 24000 π
B. V = 2400 π
C. V = 3600 π
D. V = 240 π
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Thể tích khối trụ V = π.R2. h
∗ Cách giải
Quay hình chữ nhật GHJK quanh OO' ta được hình trụ có đường cao GK = 60 và bán kính đáy bằng
Vậy thể tích của khối trụ
V = π.202.60 = 24000 π
→ Chọn câu A.
Bài 4: Hình trụ có chiều cao h = 3a, chu vi một đường tròn đáy bằng 16aπ. Thể tích khối trụ bằng
A. 576π
B. 384π
C. 192π
D. 96π
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Vtrụ = π.r2. h
Với r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
∗ Cách giải
Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là
C = 2π.R ⇔ 16aπ = 2π.R ⇒ R = 8a
Vậy thể tích khối trụ cần tính là
V = π.R2. h = π.(8a)2.3a = 192πa3
→ Chọn câu C.
Bài 5: Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích bằng 8πa2 cuộn tròn tạo thành một hình trụ có bán kính đáy là 4a. Khi đó đường sinh của hình trụ đã cho có độ dài là
A. a
B. 2a
C. 4a
D. 8a
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq = 2π.R.l
Trong đó: R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh.
∗ Cách giải
Sxq = 2π.R.l
⇔ 8πa2 = 2π.4al
⇔ l = a
→ Chọn câu A.
Bài 6: Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 4a và chiều cao bằng 4a. Hình trụ đó ngoại tiếp hình nón biết đỉnh hình nón là tâm đường tròn và hình nón có đáy trùng với đáy hình. Độ dài đường sinh của hình nón là
A.
B.
C.
D.
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Độ dài đường sinh của hình nón
Trong đó r; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón.
∗ Cách giải
=
=
→ Chọn câu A.
Bài 7: Cho hình trụ có bán kính đáy là R = 3a, thiết diện qua trục của hình nón là một hình chữ nhật có diện tích là 24a2. Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ là:
A. 48πa2, 72πa3
B. 6πa2, 6πa3
C. 48πa2, 48πa3
D. 36πa2, 36πa3
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq = 2π.R.h và thể tích khối trụ V = π.R2. h
∗ Cách giải
Mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh là đường kính đáy và một cạnh là chiều cao của hình lăng trụ.
Gọi h là chiều cao của hình trụ ta có h =
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ
Sxq = 2π.R.h = 2π.3a.8a = 48πa2
Và thể tích khối trụ
V = π.R2. h = π.9a2.8a = 72πa3
→ Chọn câu A.
Trong kì thi THPTQG, chủ đề về hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay thường xuất hiện trong câu toán thực tế. Mức độ của câu hỏi này ở mức thông hiểu – vận dụng, đòi hỏi học sinh ngoài việc thuộc các công thức cơ bản có liên quan đến chủ đề còn phải biết xây dựng hàm dựa trên các dữ kiện đề bài cho, từ đó tìm cực trị của hàm đó. Ở các dạng bài tập trên chỉ giới thiệu về các dạng toán cơ bản nên chúng ta cần lưu ý để tránh mất điểm câu dễ.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang