Table of Contents
Việc các học sinh gặp rắc rối trong việc giải các bài tập ở chương trình hình học không gian là điều gặp rất nhiều, đặc biệt là hình trụ (khối trụ). Vậy hôm nay chúng ta sẽ cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu qua chủ đề diện tích toàn phần hình trụ để có thể giải quyết các vấn đề khó khăn này.
1. Khái niệm diện tích toàn phần hình trụ
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
Đường thẳng AB được gọi là trục.
• r = AD = BC: bán kính đáy.
• I = CD: đường sinh của hình trụ.
• AB = CD = h: chiều cao của hình trụ.
2. Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ
Mối liên hệ giữa h và l
• h = l
Diện tích xunh quanh hình trụ có công thức là:
Sxq = 2π.r.l
Diện tích hai đáy hình trụ có công thức là:
S2đáy = 2π.r2
Diện tích toàn phần của hình trụ:
Stp = Sxq + S2đáy = 2π.r.l + 2π.r2
Trong đó
• Sxq diện tích xung quanh hình trụ
• S2đáy là diện tích 2 đường tròn đáy hình trụ
• Sđáy là diện tích đường tròn đáy
• Stp là diện tích toàn phần hình trụ
• π là hằng số π = 3.14159265359
• r là bán kính đường tròn đáy
• h là chiều cao hình trụ
3. Cách tính diện tích toàn phần hình trụ
- Các bạn tính lần lượt diện tích đường tròn 2 đáy và diện tích xung quanh hình trụ và sau đó tính tổng hai diện tích thì sẽ tìm được diện tích toàn phần hình trụ.
Bước 1: Trước tiên, các bạn sử dụng công thức tính Sđáy để tính diện tích đường tròn đáy hình trụ
• Sđáy = π.r2
- Áp dụng luôn công thức khi bạn biết bán kính r. Nếu chưa biết bán kính r thì dựa vào dữ liệu để tìm r. Tiếp tục tính diện tích đường tròn đáy hình trụ.
Bước 2: Tiếp đến, các bạn cần tính diện tích xung quanh hình trụ
• Sxq = 2π.r.h
- Thông thường chiều cao sẽ được cho sẵn, có bán kính r ở bước 1, từ đó ta sẽ dễ dàng tính được diện tích xung quanh hình trụ.
Bước 3: Cuối cùng, áp dụng công thức để tính diện tích toàn phần hình trụ
• Stp = Sxq + 2.Sđáy
- Hoặc từ yêu cầu đề bài, các bạn có thể tìm bán kính r và chiều cao h, sau đó áp dụng trực tiếp công thức tính diện tích toàn phần hình trụ:
• Stp = 2π.r.h + 2π.r2 = 2π.r(r + h)
4. Bài tập vận dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ
Bài 1: Cho hình trụ có bán kính ở đáy bằng 3R, chiều cao bằng 2h. Biết hình trụ này có diện tích toàn phần gấp sáu lần diện tích xung quanh. Mệnh đề dưới đây mệnh đề nào thỏa mãn
A. 3h =
B. R =
C. h =
D. R = 2h
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ là:
Sxq = 2π.r.l
Stp = 2π.r.l + 2π.r2 với l = h
∗ Cách giải
Ta có
Stp = 6Sxq
⇔ 2π.3R.2h + 2π.9R2 = 6.2π.3R.2h
⇔ 2π.9R2 = 4π.3R.2h
⇔ h =
Chọn câu C.
Bài 2: Dùng một mặt phẳng cắt hình trụ qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 20. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A. 600π
B. 450π
C. 200π
D. 115π
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Stp = 2π.R(R + h)
Trong đó R; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ
∗ Cách giải
Chiều cao của hình trụ h = 20 và bán kính đáy của hình trụ R = 10
Do đó diện tích toàn phần của hình trụ là
Stp = 2π.R(R + h)
= 2π.10(10 + 20)
= 600π
→ Chọn câu A.
Bài 3: Cho bán kính r = a và đường cao a
A. π.a2 (
B. 2π.a2 (
C. 6π.a2 (
D. a2
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Diện tích toàn phần hình trụ tròn xoay bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy:
Stp = Sxq + S2đáy = 2π.R.l + 2π.R2 = 2π.R.h + 2π.R2
∗ Cách giải
Stp = 2π.R.h + 2π.R2
= 2π.a.a.
= 2
= 2π.a2 (
→ Chọn câu B.
Bài 4: Một hình trụ có diện tích toàn phần là 18πa2 và có bán kính đáy bằng 2a. Chiều cao của hình trụ đó là:
A.
B. 10a
C.
D. 5a
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Diện tích toàn phần của hình trụ bán kính r, chiều cao h là:
Stp = 2π.r.l + 2π.r2 với l = h
∗ Cách giải
Stp = 2π.r.l + 2π.r2
⇔ 18πa2 = 2π.2a.h + 2π.4a2
⇔ h =
=
=
=
→ Chọn câu C.
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10a và AD = 20a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN ta thu được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.
A. Stp = 400πa2
B. Stp = 200πa2
C. Stp = 400 a2
D. Stp = 400 π
ĐÁP ÁN
∗ Phương pháp
Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ: Stp = 2π.r.h + 2π.r2 = 2π.r(r + h)
∗ Cách giải
Hình trụ thu được có bán kính đáy r = NB = 10a và chiều cao h = MN = AB = 10a
Diện tích toàn phần hình trụ là Stp = 2π.r(r + h) = 400πa2
→ Chọn câu A.
Thông qua chủ đề này, ta biết được diện tích toàn phần hình trụ không quá khó nếu chúng ta nắm rõ kỹ năng làm bài cùng với định nghĩa bản chất của các công thức. Trong đề thi THPT Quốc Gia, các câu hỏi về chủ đề hình trụ thường xuyên xuất hiện trong đề thi ở mức độ nhận biết và thông hiểu. Ta cần lưu ý thật kĩ các công thức và các khối hình thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi ở các dạng bài tập phổ biến.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang