Công thức tính thể tích khối nón cùng bài tập vận dụng cực hay

1. Khái niệm
2. Công thức tính thể tích khối nón
3. Bài tập ứng dụng công thức thể tích khối nón

Khối nón khi chưa được giới thiệu ta cũng dễ dàng nhận ra hình dạng của khối nón khá giống khối chóp có đáy là đa giác. Như vậy xét về hình dạng thì tương đồng nhau vậy công thức tính thể tích có giống nhau hay không? Chủ đề này ta cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu một cách chi tiết về các công thức cũng như các dạng toán liên quan đến thể tích khối nón.

1. Khái niệm

Khối nón là phần không gian giới hạn bởi một hình nón tròn xoay, kể cả hình nón đó.

the-tich-khoi-non-va-cac-dang-bai-toan-lien-quan-1

Cho tam giác SOA vuông tại O. Quay tam giác đó quanh cạnh góc vuông SO tạo ra hình nón tròn xoay.

Trong đó:

• r = OA = OB được gọi là bán kính đáy của hình nón

• h = SO được gọi là chiều cao của hình nón

• I = SA = SB được gọi là đường sinh của hình nón

• Góc ASB được gọi là góc ở đỉnh của hình nón

2. Công thức tính thể tích khối nón

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón

S_xq = π.r.l

Công thức tính diện tích đáy của hình nón

S_đ = π.r²

Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón

S_tp = π.r.l + π.r²

Cách tính thể tích khối nón bằng công thức:

V = π.r².h

3. Bài tập ứng dụng công thức thể tích khối nón

Bài 1: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 15cm và đường kính của đường tròn đáy là 40 cm. Tính thể tích V của khối nón.

A. V = 2000π (cm³)

B. V = 240π (cm³)

C. V = 1500π (cm³)

D. V = 500π (cm³)

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Thể tích của khối nón được tính bởi công thức: V = π.r².h

∗ Cách giải

Bán kính đáy là: 40 : 2 = 20 cm.

Thể tích của khối nón là:

V = π.r².h

= π.20².15 = 2000π (cm³)

→ Chọn câu A.

Bài 2: Cho tam giác DEF vuông tại D, DE = 4a cm, DF = 3a cm. Gọi V₁ là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác DEF quanh cạnh DE và V₂ là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác DEF quanh cạnh DF. Khi đó tỉ số bằng:

B. 3

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

V = π.r².h

Trong đó r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của nón.

∗ Cách giải

Ta có

⇒ = =

→ Chọn câu D.

Bài 3: Cho hình lập phương EFGH.E'F'G'H' cạnh EG' = a. Tính thể tích khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông EFGH và đỉnh là tâm của hình vuông E'F'G'H'

B. πa³

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

V_n = π.r².h

Trong đó r; h lần lượt là bán kính đáy là chiều cao của khối nón.

∗ Cách giải

Gọi cạnh hình vuông là x ta có E'G' là đường chéo trong hình vuông E'F'G'H'

Nên E'G' = x

Ta có

x² + (x)² = (a)²

⇔ 3x² = 3a²

⇔ x = a

Bán kính đáy của khối nón

r = EG =

Chiều cao của khối nón h = a

⇒ V_n = π.r².h

= π..a

→ Chọn câu A.

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều A.BCDE có cạnh đáy bằng 4a. Tam giác BCD có diện tích bằng 16a². Thể tích khối nón có đỉnh là A và đường tròn đáy nội tiếp BCDE là

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

- Tính độ dài đường cao hình nón (là đường cao hình chóp).

- Tính bán kính hình tròn đáy và thể tích khối nón V = π.R².h

∗ Cách giải

the-tich-khoi-non-va-cac-dang-bai-toan-lien-quan-3

Gọi I là trung điểm của BC, O là giao điểm của BD và CE.

Do A.BCDE là chóp tứ giác đều nên

AI ⊥ BC

⇒ S_ABC = AI.BC

⇔ AI.4a = 16a²

⇔ AI = 8a

AO ⊥ (BCDE)

⇒ AO ⊥ OI

Tam giác AOI vuông tại O, theo định lý Pytago, ta có:

AO² = AI² - OI²

= (8a)² - (2a)²

= 60a²

⇒ AO = 2 a

Thể tích khối nón có đỉnh là A và đường tròn đáy nội tiếp BCDE là:

V = π.R².h

= π.OI².AO

= π.(2a)². 2 a

→ Chọn câu B.

Bài 5: Cho một tam giác đều cạnh bằng 10a, quay tam giác đều trên quanh một cạnh của nó ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay đó

A. 750 πa³

B. 250 a³

C. 50 πa³

D. 250 πa³

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Vẽ hình, xác định chiều cao và bán kính đáy của khối tròn xoay.

Thể tích khối nón là: V = π.R².h

∗ Cách giải

the-tich-khoi-non-va-cac-dang-bai-toan-lien-quan-4

Xét tam giác đều ABC, gọi H là trung điểm của BC

⇒ AH = = a

Quay tam giác ABC quanh cạnh BC ta được hai khối nón có cùng chiều cao

h = BH = = 5a

Bán kính đường tròn đáy r = = a

Vậy thể tích cần tính là

V = 2. π.R².h

= . . 5a

= 250 πa³

→ Chọn câu D.

Bài 6: Một khối nón có diện tích toàn phần (S_tp) bằng 100π và diện tích xung quanh (S_xq) bằng 64π. Tính thể tích V của khối nón đó được :

A. π

C. π

D. π

ĐÁP ÁN

∗ Phương pháp

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón:

S_xq = π.r.l ; S_tp = π.r.l + π.r²

Trong đó r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón. Tính r, l.

Sử dụng công thức tính thể tích khối nón

V = π.r².h

Với h = là độ dài đường cao của hình nón

∗ Cách giải

S_xq = π.r.l = 64π

S_tp = π.r.l + π.r²= 100π

⇒ π.r² = 36π

⇒ r² = 36

⇔ r = 6

⇒ π.6.l = 64π

⇒ l =

⇒ h =

⇒ V = π.r².h

= π.6².

= π

→ Chọn câu C.

Hoàn toàn tương tự với thể tích khối chóp, thể tích khối nón thường xuyên xuất hiện ở các câu mức độ thông hiểu và vận dụng trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Song song với các khái niệm cũng như công thức tính, để giải quyết được bài toán về thể tích khối nón ta cần có khả năng biến đổi các dữ kiện của bài toán để từ đó có được số liệu về bán kính đáy cũng như chiều cao của khối nón. Đặc biệt cần lưu ý đến các dạng toán xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và điểm, khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang

Công thức tính thể tích khối nón cùng bài tập vận dụng cực hay

Table of Contents

1. Khái niệm

2. Công thức tính thể tích khối nón

3. Bài tập ứng dụng công thức thể tích khối nón