Bài 2: Phương Trình Mặt Phẳng

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa

Cho mặt phẳng . Nếu vectơ    khác   và có giá vuông góc với mặt phẳng  thì  được gọi là vectơ pháp tuyến của   (SGK, trang 69).

Chú ý:

a) Nếu  là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì  với , cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

b) Cho hai vectơ không cùng phương và . Nếu   và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng  thì   sẽ nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến. Vectơ  đó được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ  và , kí hiệu là   hoặc   .

Ví dụ 1:

Trong không gian cho ba điểm . Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Giải:

Ta có:

Hai vectơ và có giá nằm trên mặt phẳng  nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  là: .

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa

Phương trình có dạng  trong đó  không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. (SGK, trang 72)

Nhận xét:

a) Nếu mặt phẳng   có phương trình tổng quát là  thì nó có một vectơ pháp tuyến là .

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm  nhận vectơ    khác  làm vectơ pháp tuyến là .

Ví dụ 2. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  .

Giải:

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  là .

Ví dụ 3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng  với  , , .

Giải:

Ta có : , .

Mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến  và đi qua điểm   có phương trình là:   hay .

Vậy phương trình mặt phẳng  là .

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian   cho mặt phẳng :  (1)

a) Nếu thì   qua gốc tọa độ .

b) Nếu thì  song song hoặc chứa trục .

Nếu thì   song song hoặc chứa trục .

Nếu thì  song song hoặc chứa trục  .

c) Nếu  và  thì  song song hoặc trùng mặt phẳng  .

Nếu  và   thì  song song hoặc trùng mặt phẳng   .

Nếu  và  thì  song song hoặc trùng mặt phẳng  .

d) Nếu mặt phẳng  cắt các trục ,  ,   lần lượt tại các điểm có tọa độ là  (với  ) thì   có phương trình là: (phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).

Ví dụ 4: Trong không gian cho ba điểm  .Hãy viết phương trình của mặt phẳng .

Giải:

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng  là:

  hay  .

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian  cho hai mặt phẳng  và  có phương trình

.

Khi đó  và có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là

,

.

Ta có các kết quả sau đây:

a)    

b)    

c)     cắt   .

d)          .

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  và song song với mặt phẳng .

Giải:

Vì mặt phẳng  song song với mặt phẳng nên  có một vectơ pháp tuyến . Mặt phẳng  đi qua điểm , vậy   có phương trình:

  hay .

Ví dụ 6:  Viết phương trình mặt phẳng  đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng  có phương trình: .

Giải:

Gọi  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên  là:

 và .

Do đó mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến:

.

Vậy phương trình của  là:

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lý: (SGK, trang 78)

Trong không gian , cho hai mặt phẳng   có phương trình  và điểm . Khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng , kí hiệu là , được tính theo công thức:

Ví dụ 7:  Tính khoảng cách từ gốc tọa độ và từ điểm  đến mặt phẳng .

Giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

Ví dụ 8:  Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và   cho bởi các phương trình sau đây:

Giải:

Chọn điểm  thuộc .

Ta có:  

Bài tập luyện tập phương trình mặt phẳng của trường Nguyễn Khuyến

I. Bài tập tự luận

Bài 1. Trong không gian với hệ  trục tọa độ , viết phương trình mặt phẳng  đi qua điểm  và cách một khoảng lớn nhất.

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng  đi qua   và có vectơ pháp tuyến là  

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ  , cho ba điểm ,  và . Viết phương trình mặt phẳng   qua   và vuông góc với đường thẳng .

Bài 4. Trong không gian với hệ trục , viết mặt phẳng  đi qua điểm  và song song với mặt phẳng  

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ   cho ba điểm  và . Viết phương trình mặt phẳng .

Bài 6. Trong không gian với hệ trục , tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm  trên mặt phẳng

A.     

B.      

C.      

D.  

II. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho mặt phẳng . Điểm nào trong các phương án dưới đây thuộc mặt phẳng

A.      

B.      

C.    

D.  

Bài 2. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng?

A.     

B.  

C.      

D.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ  cho mặt phẳng  Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của

A.     

B.     

C.     

D.

Bài 4.  Cho hình chóp  có đáy là hình vuông và  vuông góc với đáy. Cho biết   . Mặt phẳng  có phương trình là

A.      

B.  

C.      

D.  

Bài 5.  Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và vectơ . Mặt phẳng qua   và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

A.     

B.

C.     

D.  

Bài 6. Phương trình mặt phẳng đi qua   và nhận  làm vectơ pháp tuyến là: